Υπάρχει συνάρτηση;

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Υπάρχει συνάρτηση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε \displaystyle{ f(x)f(x+y)+2f(x+2y)+f(2x+y)f(y)=x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2} ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap »

socrates έγραψε:Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε \displaystyle{ f(x)f(x+y)+2f(x+2y)+f(2x+y)f(y)=x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2} ,} (1) για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Η (1) για x=y=0 δίνει f(0)=0 \vee f(0)=-1

\clubsuit Αν f(0)=-1, τότε

Η (1) για y=-x δίνει

-f(x)+2f(-x)+f(x)f(-x)=2x^4+2x^2 (2) και φυσικά

-f(-x)+2f(x)+f(x)f(-x)=2x^4+2x^2 (3)

Από (2) και (3) βρίσκουμε f(-x)=f(x), άρα f^2(x)+f(x)=2x^4+2x^2 (*)

Η (1) για y=0 δίνει f^2(x)+2f(x)-f(2x)=x^4+x^2 (4) και για x=0

-f(y)+2f(2y)+f^2(y)=y^4+y^2 ή -f(x)+2f(2x)+f^2(x)=x^4+x^2 (5)

Από (4) και (5) βρίσκουμε f^2(x)+f(x)=x^4+x^2, το οποίο αντίκειται στην (*)

\clubsuit Αν f(0)=0, τότε η (1) για y=-x δίνει

2f(-x)+f(x)f(-x)=2x^4+2x^2, (6) άρα και 2f(x)+f(x)f(-x)=2x^4+2x^2 (7)

(6) και (7) δίνουν f(-x)=f(x), άρα η (6) δίνει f^2(x)+2f(x)=2x^4+2x^2 (*)

Η (1) για y=0 δίνει f^2(x)+2f(x)=x^4+x^2, το οποίο αντίκειται στην (*)

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
Σπύρος Καπελλίδης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες