Διαφορετική συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy)=\max\{f(x+y),f(x) f(y)\} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

AlexandrosG · #2

Για $\displaystyle{x=y=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(0) \geq f^2(0)}$ και άρα $\displaystyle{ 0 \leq f(0) \leq 1}$ .

Για $\displaystyle{x=y}$ και για $\displaystyle{x=-y}$ παίρνουμε ότι $\displaystyle{f(x^2) \geq f^2(x) \geq 0}$ και $\displaystyle{f(-x^2) \geq f(0) \geq 0}$ αντίστοιχα. Άρα $\displaystyle{f(x) \geq 0}$ .

Για $\displaystyle{y=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(0)=\max \{ f(x),f(0)f(x) \}}$ . Όμως $\displaystyle{f(x) \geq f(0)f(x)}$ από τα προηγούμενα άρα $\displaystyle{f(x)=f(0)}$ .

Τελικά οι λύσεις είναι οι σταθερές συναρτήσεις $\displaystyle{c}$ με $\displaystyle{0 \leq c \leq 1}$ .

Διαφορετική συναρτησιακή

Διαφορετική συναρτησιακή

Re: Διαφορετική συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση