Με δυνάμεις

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle f(x+y)=f(x).3^{{b^{y}}+f(y)-1}+b^{x}(3^{{b^{y}}+f(y)-1}-b^{y}) ,$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου b>0.

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle f(x+y)=f(x).3^{{b^{y}}+f(y)-1}+b^{x}(3^{{b^{y}}+f(y)-1}-b^{y}) ,$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου

Για

στην αρχική παίρνουμε: f(0)=-1

ή

Για

παίρνουμε: $f(y)=\left[f(0)+1\right]3^{b^y+f(y)-1}-b^y \ \ (1)$

$(\bullet)$ Αν f(0)=-1

τότε από την (1)

παίρνουμε

που ικανοποιεί την αρχική.

$(\bullet)$ Αν f(0)=1

τότε από την (1)

παίρνουμε $f(y)+b^y=3^{b^y+f(y)-1} \ \ (2)$

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση $g(x)=3^{x-1}-x$ για την οποία έχουμε $g^{\prime}(x)=3^{x-1}\ln{3}-1$ η οποία μηδενίζεται για κάποιο x_0<1

(εύκολο να το βρούμε και να πιστοποιήσουμε ότι είναι μικρότερο της μονάδος) οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, x_0]$ και γνησίως αύξουσα στο $[x_0,+\infty)$ . Επίσης αφού η x=1

είναι προφανής ρίζα της g(x)

, αυτή είναι και μοναδική στο $[x_0,+\infty)$ και τέλος αφού $\displaystyle\lim_{x\to - \infty}g(x)=+\infty$ , άρα η g(x)

έχει άλλη μία λύση $\rho$ στο $(-\infty,x_0]$ για την οποία ισχύει $\rho < x_0<1$ και η οποία είναι μοναδική στο εν λόγω διάστημα.

Συνεπώς οι μόνες ρίζες της g(x)

είναι οι $\rho, \ 1$ .

Εδώ τώρα θέλει λίγη προσοχή: Λόγω της (2)

λοιπόν καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η ποσότητα f(y)+b^y

είναι λύση της εξίσωσης g(x)=0

για κάθε $y\in\mathbb{R}$ .

Άρα $\left( \forall \ x\in\mathbb{R}\right)\left(f(x)+b^x=1 \vee f(x)+b^x=\rho<1\right) \ \ (3)$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι υπάρχει κάποιο x_1

για το οποίο ισχύει $f(x_1)+b^{x_1}=\rho$

Θέτουμε στην αρχική όπου

το

και τελικά (αφού f(0)=0

) παίρνουμε: $3^{b^y+f(y)-1}\left(b^{-y}+f(-y)\right)=1 \ \ (4)$ .

Λόγω της (3)

παίρνουμε $b^{-y}+f(-y)=1$ ή $b^{-y}+f(-y)=\rho$ και έτσι θέτοντας στην (4)

όπου

το

παίρνουμε $3^{\rho-1}=1$ ή $3^{\rho-1}\rho=1$ αντίστοιχα, σχέσεις που δε μπορούν να ισχύουν εφόσον $\rho<1$ , άτοπο.

Καταλήξαμε σε άτοπο διότι υποθέσαμε ότι υπάρχει x_1

για το οποίο ισχύει η (3)

. Άρα δεν υπάρχει οπότε

f(x)+b^x=1

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ απ' όπου f(x)=1-b^x

συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική.

Άρα τελικά οι συναρτήσεις που επαληθεύουν είναι οι $\boxed{f(x)=-b^x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}}$ και $\boxed{f(x)=1-b^x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}}$

Αλέξανδρος

Με δυνάμεις

Με δυνάμεις

Re: Με δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση