Σχεδόν προσθετική και πολλαπλασιαστική...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x)f(y)\le f(xy)$

και

$f(x)+f(y)\le f(x+y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Παναγιώτης 1729 · #2

Προφανής λύση είναι η μηδενική συνάρτηση. Θα βρω τις υπόλοιπες.
Για $x\geq{0}$ , $f(x)\geq f^2({\sqrt{x})}\geq{0}$ .
Είναι $2f(0)\leq{f(0)}\leftrightarrow f(0)\leq{0}$ .
Άρα, f(0)=0

.
Aκόμη $f(x)+f(-x)\leq{f(0)}=0$ , άρα $f(x)\leq{0}$ για $x\leq{0}$ .
Συνεπώς $f(x)f(-1)\leq{f(-x)}\leq{-f(x)}$ , άρα $f(x)(f(-1)+1)\leq{0}$ .
Αν η f παίρνει τόσο θετικές όσο κι αρνητικές τιμές, πρέπει προφανώς f(-1)=-1

, άρα $-f(-x)\qeq{f(x)} \geq (f(-1)f(-x))=-f(-x)$ .
Άρα, f(-x)=-f(x)

.
Έτσι για x το -x και στις δύο σχέσεις αποδεικνύεται εύκολα ότι η συνάρτησα είναι και πολ/κη και προσθετική, κι αφού f(-1)=-1

,

.

Αν η f παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές, πρέπει f(x)=0

για $\leq{0}$ .
Για y<-x<0

η δεύτερη σχέση δίνει $f(x)\leq{0}$ , άρα f(x)=0

για κάθε x.

Ομοίως όταν η f παίρνει μόνο μη θετικές τιμές.

Σχεδόν προσθετική και πολλαπλασιαστική...

Σχεδόν προσθετική και πολλαπλασιαστική...

Re: Σχεδόν προσθετική και πολλαπλασιαστική...

Μέλη σε σύνδεση