Συναρτησιακή στους ρητούς

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$

#2

Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

$\displaystyle{f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) \ \ (1)}$
Από την (1) για $\displaystyle{x=y=0}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{f(f(0))=0}$ .
Από την (1) επίσης για $\displaystyle{y=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+f(x))=2x+2f(f(0))}$ και επειδή είναι $\displaystyle{f(f(0))=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+f(x))=2x \ \ (2)}$

Από την (2) εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle{f(Q)=Q}$
(Για κάθε $\displaystyle{y_o \in Q}$ υπάρχει το $\displaystyle{x_o=\frac{y_o}{2}+f(\frac{y_o}{2}), (x_o\in Q)}$ ώστε $\displaystyle{f(x_o)=y_o}$ , οπότε $\displaystyle{Q\subseteq f(Q)}$ και από την υπόθεση είναι και $\displaystyle{f(Q) \subseteq Q}$ , οπότε $\displaystyle{f(Q)=Q}$ )

Από την (2) επίσης θέτοντας όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{x+f(x)}$ έχουμε:
$\displaystyle f(x+f(x)+f(x+f(x))=2(x+f(x)) \\ \stackrel{(2)}{\Rightarrow }f(x+f(x)+2x)=2x+2f(x)\\\Rightarrow f(3x+f(x))=2x+2f(x)\ \ (3)$

Από την (1) θέτοντας $\displaystyle{y=x}$ έχουμε:
$\displaystyle{f(x+f(x)+2x)=2x+2f(f(x)) \Rightarrow f(3x+f(x))=2x+2f(f(x)) \ \ (4)}$

Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι: $\displaystyle{f(f(x))=f(x) \ \ (5)}$
Έτσι η (1) γίνεται: $\displaystyle{f(x+f(x)+2y)=2x+2f(y) \ \ (6)}$

Από την (6) θέτοντας όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{f(x)}$ και όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{f(y)}$ έχουμε:
$\displaystyle{f(f(x)+f(f(x))+2f(y))=2f(x)+2f(f(y))}$
και λόγω της (5) προκύπτει:
$\displaystyle{f(f(x))+f(x)+2f(y))=2f(x)+2f(y) \Rightarrow f(2f(x)+2f(y))=2f(x)+2f(y)}$

Έστω τώρα $\displaystyle \alpha \in Q$ τυχαίος. Τότε $\displaystyle \frac{\alpha }{2}\in Q$ , οπότε υπάρχει $\displaystyle{x \in Q}$ , ώστε $\displaystyle{f(x)=\frac{\alpha}{2}}$
Ακόμα $\displaystyle{0\in Q}$ , οπότε υπάρχει $\displaystyle{y \inQ}$ , ώστε $\displaystyle{f(y)=0}$

Ύστερα απ' αυτά έχουμε:
$\displaystyle f(2f(x)+2f(y))=2f(x)+2f(y)\\\Rightarrow f(2.\frac{\alpha }{2}+2.0)=2.\frac{\alpha }{2}+2.0\Rightarrow f\left(\alpha \right)=\alpha$

Άρα: $\displaystyle{f(x)=x, \ \ \forall x \in Q}$ .

#3

Μια πιο σύντομη λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

$\displaystyle{f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) \ \ (1)}$
Από την (1) για $\displaystyle{x=y=0}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{f(f(0))=0}$ .
Από την (1) επίσης για $\displaystyle{y=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+f(x))=2x+2f(f(0))}$ και επειδή είναι $\displaystyle{f(f(0))=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+f(x))=2x \ \ (2)}$

Από την (2) εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle{f(Q)=Q}$
(Για κάθε $\displaystyle{y_o \in Q}$ υπάρχει το $\displaystyle{x_o=\frac{y_o}{2}+f(\frac{y_o}{2}), (x_o\in Q)}$ ώστε $\displaystyle{f(x_o)=y_o}$ , οπότε $\displaystyle{Q\subseteq f(Q)}$ και από την υπόθεση είναι και $\displaystyle{f(Q) \subseteq Q}$ , οπότε $\displaystyle{f(Q)=Q}$ )

Από την (2) επίσης θέτοντας όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{x+f(x)}$ έχουμε:
$\displaystyle f(x+f(x)+f(x+f(x))=2(x+f(x)) \\ \stackrel{(2)}{\Rightarrow }f(x+f(x)+2x)=2x+2f(x)\\\Rightarrow f(3x+f(x))=2x+2f(x)\ \ (3)$

Από την (1) θέτοντας $\displaystyle{y=x}$ έχουμε:
$\displaystyle{f(x+f(x)+2x)=2x+2f(f(x)) \Rightarrow f(3x+f(x))=2x+2f(f(x)) \ \ (4)}$

Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι: $\displaystyle{f(f(x))=f(x) \ \ (5)}$

(μέχρις εδώ είναι ίδια μ' εκείνη της πρώτης λύσης)

Έστω $\displaystyle \alpha \in Q$ τυχαίος.
Επειδή $\displaystyle{\alpha \in f(Q)=Q}$ υπάρχει $\displaystyle x \in Q$ ώστε $\displaystyle{f(x)=\alpha}$ .
Έτσι από την (5) έχουμε $\displaystyle{f(\alpha)=\alpha}$ .
Άρα για κάθε $\displaystyle{x\in Q}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=x}$
(ικανοποιεί την υπόθεση)

#4

Ας το δυσκολέψουμε λίγο...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

#5

socrates έγραψε:Ας το δυσκολέψουμε λίγο...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Επαναφορά!

Συναρτησιακή στους ρητούς

Συναρτησιακή στους ρητούς

Re: Συναρτησιακή στους ρητούς

Re: Συναρτησιακή στους ρητούς

Re: Συναρτησιακή στους ρητούς

Re: Συναρτησιακή στους ρητούς

Μέλη σε σύνδεση