Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)+y)= f(x+y)+xf(y)-xy-x+1 ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Έστω πως

Η (1) για

δίνει

(2). Αν

, τότε 0=1, άτοπο, άρα $a\neq 0$

Η (1) για x=0

δίνει

(3)

Η (1) για y=0

δίνει

, άρα

$f(a+1)=f(f(a))=f(a)+a^2-a+1=a^2+2 \Rightarrow f(1)=f(a+1)-1=a^2+1$

Η (1) για x=a,y=-a

δίνει

$a^2+1=f(1)=f(f(a)-a)=a+af(-a)+a^2-a+1 \Rightarrow f(-a)=0$

f(y)=f(f(-a)+y)=f(y-a)-af(y)+ay+a+1

και επειδή f(y-a)=f(y)-1

, έχουμε

$f(y)=f(y)-a\left(f(y)-y-1\right) \Rightarrow f(y)=y+1, \forall y \in \mathbb{R}$ , που επαληθεύει την αρχική.