Στους φυσικούς και αύξουσα!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $f(y(f(x))=x^{2}f(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}^*.$

Παναγιώτης 1729 · #2

Θα δώσω μία λύση, στην οποία θα χρησιμοποιήσω το θεώρημα του Erdos ότι αν μία αριθμητική συνάρτηση

είναι πολλαπλασιαστική και αύξουσα τότε δίνεται από την σχέση f(n)=n^c

για $n\geq{1}$ .
Για y=1

έχω

, άρα η συνάρτηση που ψάχνουμε είναι 1-1 και για

το

η αρχική σχέση δίνει: f(f(x)f(y))=x^2f(xf(y))=x^2y^2f(xy)=f(f(xy))

, άρα

. Από το θεώρημα που ανέφερα f(x)=x^c

και είναι εύκολο από εδώ να δούμε ότι f(x)=x^2

.

Ελπίζω να είναι εντάξει.

#3

Δείτε και

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1b#p506247

Στους φυσικούς και αύξουσα!

Στους φυσικούς και αύξουσα!

Re: Στους φυσικούς και αύξουσα!

Re: Στους φυσικούς και αύξουσα!

Μέλη σε σύνδεση