Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

#1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty)$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x+y)\ge f(x)+yf(f(x)) ,}$ για κάθε $x,y\in (0,+\infty ) .$

Ισχυρότερα:

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty)$ τέτοια ώστε $f(x+y)\ge yf(f(x)) ,$ για κάθε $x,y\in (0,+\infty ) .$

GVlachos · #2

Για το 2ο:
Για

αρκετά μεγάλο, το f(x+y)

γίνεται όσο μεγάλο θέλουμε. Άρα υπάρχει

με

.
Για $x=c, f(y+c)\geq y f(f(c))>y$
Έστω f(x)-x=a>1

για κάποιο

. Για $y=a, f(f(x))\geq a(f(x))$ . Άτοπο, αφού f(f(x))>0, a>1

.
Άρα $x+1\geq f(x) \geq x-c$ για x>c

, δηλαδή η $\frac{f(x)}{x}$ τείνει στο

όταν το

τείνει στο άπειρο και εύκολα καταλήγουμε σε άτοπο, αφού για x,y

αρκετά μεγάλα στην αρχική σχέση, το αριστερό μέλος είναι περίπου ίσο με x+y

, ενώ το δεξί με

.

Παναγιώτης 1729 · #3

Λίγο διαφορετικά: x=1,y>1,z=t-1

έχω $f(t)\geq{(t-1)f(f(1))}$ . (1)
Για

αρκετά μεγάλο $\displaystyle f(t)\geq{\frac{t}{2}ff(({\frac{t}{2}))}}\geq{at^2+b}$ (2) για κάποια a,b

με

. Η (1) το εξασφαλίζει αμέσως, ας μου πει όποιος θέλει να το διευκρινίσω.
Για αρκετά μεγάλο t είναι f(t)>t

και για

η αρχική δίνει $f(t)\leq{t+1}$ , άτοπο λόγω της (2).

#4

viewtopic.php?f=59&t=24641

#5

Μια κάποια γενίκευση:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=481138

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση