Απλή συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)=f(x+y^{2}+f(y)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

GVlachos · #2

Εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι περιοδική με περίοδο y^2+f(y)

για κάθε

Για

Έστω $f(y)+y^2=c\neq 0$ για κάποιο

(διαφορετικά f(y)=-y^2

που ικανοποιεί την αρχική σχέση)
Για y=c^2

βλέπουμε εύκολα ότι και το c^2

είναι περίοδος της

Για

στην τελευταία σχέση παίρνουμε f(2ac)=f(-a^2-f(a))=f(0)

και αφού $c\neq 0$ , για $a=\frac{b}{2c}$ . f(b)=f(0)

για κάθε πραγματικό αριθμό

.
Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση είναι όλες οι σταθερές και η f(x)=-x^2

#3

Να το δυσκολέψουμε;

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)=f(x+y^{2}+f(y)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Απλή συναρτησιακή

Απλή συναρτησιακή

Re: Απλή συναρτησιακή

Re: Απλή συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση