Συναρτησιακή στους ακέραιους

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-y+f(y))=f(x)+f(y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

#2

Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

$\displaystyle{...f(x-y+f(y))=f(x)+f(y) \ \ (1)}$

Από την (1) για $\displaystyle{y=x}$ έχουμε $\displaystyle{f(f(x))=2f(x), \ \ \forall x \in Z \ \ (2)}$
Επαγωγικά χρησιμοποιώντας την (2) έχουμε:

$\displaystyle{f(2^nf(x))=2^{n+1}f(x), \ \ \forall x \in Z, \ \ \forall n \in N^* \ \ (3)}$

Από τη (2) έχουμε: $\displaystyle{f(f(0))=2f(0) \ \ (4)}$

Από την (1) θέτοντας όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{f(y)}$ έχουμε:
$\displaystyle f(x-f(y)+f(f(y)))=f(x)+f(f(y))\\ \stackrel {(2)}{\Rightarrow }f(x-f(y)+2f(y))=f(x)+2f(y)\\\Rightarrow f(x+f(y))=f(x)+2f(y) \ \ (5)$

Από την (5) για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε:
$\displaystyle f(0+f(0))=f(0)+2f(0)\\\Rightarrow f(f(0))=3f(0)\stackrel{(4)}{\Rightarrow }2f(0)=3f(0)\Rightarrow f(0)=0$

Από την (5) για $\displaystyle{x=-f(y)}$ έχουμε:
$\displaystyle f(-f(y)+f(y))=f(-f(y))+2f(y) \\\Rightarrow f(0)=f(-f(y))+2f(y)\\ \stackrel {f(0)=0}{\Rightarrow }f(-f(y))=-2f(y) \ \ (6)$

Από την (1) για $\displaystyle{x=-f(y)}$ έχουμε:
$\displaystyle f(-f(y)-y+f(y))=f(-f(y))+f(y)\\ \stackrel {(6)}{\Rightarrow }f(-y)=-2f(y)+f(y)\\\Rightarrow f(-y)=-f(y) \ \ \forall y \in Z \ \ (7)$

Έστω τώρα ότι υπάρχει $\displaystyle x_o\in Z-\left\{0 \right\}$ με $\displaystyle{f(x_o)=0}$ τότε από την (1) θα είναι:

$\displaystyle f(x-x_o+f(x_o))=f(x)+f(x_o)\\\Rightarrow f(x-x_o+0)=f(x)+0\\\Rightarrow f(x-x_o)=f(x), \ \ (a)$
και
$\displaystyle{f((x+x_o)-x_o)=f(x+x_o) \Rightarrow f(x+x_o)=f(x)}$
Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι περιοδική με περίοδο: $\displaystyle{T=\left|x_o \right|}$

Επομένως το $\displaystyle{f(Z)}$ είναι πεπερασμένο. Άρα $\displaystyle \kappa \leq f(x)\leq \lambda ,\ \ \forall x\in Z,\ \ (\kappa ,\lambda \in Z)$
και κατά συνέπεια:
$\displaystyle \kappa \leq f(2^nf(x))\leq \lambda , \ \ \forall x\in Z, \forall n\in N^* \\ \Rightarrow \kappa \leq 2^{n+1}f(x)\leq \lambda \ \ \forall x\in Z, \forall n\in N^* \\\Rightarrow \frac{\kappa }{2^{n+1}}\leq f(x)\leq \frac{\lambda }{2^{n+1}} \ \ \forall x\in Z, \forall n\in N^*$
κι ακόμα:
$\displaystyle \Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{\kappa }{2^{n+1}}\leq \lim_{n\rightarrow +\propto }f(x)\leq \lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{\lambda }{2^{n+1}} \ \ \forall x\in Z \\\Rightarrow 0\leq \lim_{n\rightarrow +\propto }f(x)\leq 0 \ \ \forall x\in Z \Rightarrow f(x)=0 \ \ \forall x\in Z$
(ικανοποιεί την υπόθεση)

Έστω ότι δεν υπάρχει $\displaystyle x_o\in Z-\left\{0 \right\}$ ώστε $\displaystyle{f(x_o)=0}$ .
Τότε θα είναι: $\displaystyle{f(x)=0}$ μόνον για $\displaystyle{x=0}$ .
Από την (1) για $\displaystyle{x=-y}$ έχουμε:
$\displaystyle f(-y-y+f(y))=f(-y)+f(y)\\\Rightarrow f(f(y)-2y)=-f(y)+f(y)\\\Rightarrow f(f(y)-2y)=0\Rightarrow f(y)-2y=0\\\Rightarrow f(y)=2y, \forall x\in Z$
(ικανοποιεί την υπόθεση)

Τελικά είναι: $\displaystyle \left\{\begin{matrix} f(x)=0, \ \ \forall x\in Z\\\acute{\eta }\\ f(x)=2x, \ \ \forall x\in Z \end{matrix}\right.$

GVlachos · #3

Είναι προφανές ότι η μηδενική συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση.
Έστω ότι η συνάρτηση

δεν είναι η μηδενική. Τότε, για x=y

,

, άρα το σύνολο τιμών της

θα περιέχει άπειρους ακεραίους.
Έστω τώρα ότι υπάρχει

με $2y-f(y)=a\neq 0$
Για x=a

παίρνουμε

.
Για

στην αρχική, f(x-a)=f(x)

, άρα η

είναι περιοδική και παίρνει πεπερασμένο πλήθος τιμών. Άτοπο.
Άρα οι μοναδικές συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση είναι οι f(x)=2x

και η $f\equiv 0$ .

nikoszan · #4

Ν.Ζ.

styt_geia · #5

GVlachos έγραψε:
, άρα το σύνολο τιμών της θα περιέχει άπειρους ακεραίους.

Αν δεν είναι κόπος μήπως θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει αυτό το σημείο;

#6

styt_geia έγραψε:
GVlachos έγραψε:
, άρα το σύνολο τιμών της θα περιέχει άπειρους ακεραίους.
Αν δεν είναι κόπος μήπως θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει αυτό το σημείο;

Επειδή η

δεν είναι η μηδενική, υπάρχει

ώστε $f(c)\ne 0.$

Επαγωγικά (δες στην πρώτη λύση) έχουμε $\displaystyle{f(2^nf(x))=2^{n+1}f(x), \ \forall x \in \mathbb{Z}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*}$

οπότε $\displaystyle{f(2^nf(c))=2^{n+1}f(c), \ \forall n \in \mathbb{N}^* }.$

Η

παίρνει, λοιπόν, όλες τις τιμές $2^{n+1}f(c), \ n \in \mathbb{N}^*$ που είναι άπειρες το πλήθος.

styt_geia · #7

Σ'ευχαριστώ πολύ!

Συναρτησιακή στους ακέραιους

Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Μέλη σε σύνδεση