Πράξη

#1

Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x\Box y) + (y\Box z) + (z\Box x) = 0, \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}.$
(β) $z(x\Box y) = (zx)\Box (zy) \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}.$
(γ) Υπάρχουν ακέραιοι x, y

με

τέτοιοι ώστε $x\Box y = 1.$

Να υπολογίσετε το $2010 \Box 10.$

#2

socrates έγραψε:Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x\Box y) + (y\Box z) + (z\Box x) = 0, \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}.$
(β) $z(x\Box y) = (zx)\Box (zy) \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}.$
(γ) Υπάρχουν ακέραιοι με τέτοιοι ώστε $x\Box y = 1.$

Να υπολογίσετε το $2010 \Box 10.$

Και αυτή ωραία

Κατ΄αρχάς εύκολα αποδεικνύεται ότι $a \Box a=0, \forall a \in \mathbb{Z}$ και με αυτό ότι

$b \Box a=-(a \Box b), \forall a,b \in \mathbb{Z}$

Έστω $k \in \mathbb{Z}$ , τότε από την (α) έχουμε

$(kx \Box ky)+(ky\Box x)+(x \Box kx)=0 \Rightarrow k+(ky \Box x)+x (1\Box k)=0$

$\Rightarrow x(1\Box k)=-k-(ky\Box x) \Rightarrow x(k\Box 1)=k+(ky\Box x)$ (1) και

$(ky\Box x)+(x\Box y)+(y \Box ky)=0 \Rightarrow ... \Rightarrow y(k\Box1)=1+(ky \Box x)$ (2)

(1) & (2) $\Rightarrow (x-y)(k\Box 1)=k-1$ (3)

Η (3) για k=2

δίνει $(x-y)(2\Box 1)=1$ και από τα δεδομένα x-y=1

, άρα η (3) γίνεται

$k\Box 1=k-1 \Rightarrow 201\Box 1=200 \Rightarrow 2010 \Box 10 =2000$

Πράξη

Πράξη

Re: Πράξη

Μέλη σε σύνδεση