Πράξη!

#1

Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a + b)(a\Box b) = (a^2)\Box (b^2) \ \ \forall a, b \in \mathbb{Z}.$
(β) $(a \Box b) + (b \Box c) = a \Box c \ \ \forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
(γ) $1\Box 0 = 1.$

Να δείξετε ότι $a\Box b = a - b .$

#2

socrates έγραψε:Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a + b)(a\Box b) = (a^2)\Box (b^2) \ \ \forall a, b \in \mathbb{Z}.$
(β) $(a \Box b) + (b \Box c) = a \Box c \ \ \forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
(γ) $1\Box 0 = 1.$

Να δείξετε ότι $a\Box b = a - b .$

Καλοοοό

Η (α) για b=-a

δίνει $(a+a)(a \Box a)=a^2 \Box a^2 \Rightarrow a^2 \Box a^2=0$ (1)

Η (1) για $a \neq 0$ δίνει $(a+a) (a \Box a)=0 \Rightarrow a \Box a=0, \forall a \neq 0$ .

Η (β) για c=a

δίνει $(a \Box b)+(b \Box a)=0 \Rightarrow a \Box b =-(b \Box a), \forall a \neq 0$

Και $0\Box 0= 1 \Box 0 +0\Box 1=0$ , άρα $a\Box a=0, \forall a \in \mathbb{Z}$

Έχουμε $[(-a) \Box a]+[a\Box 0]=(-a)\Box 0$

$\Rightarrow (-a)[(-a) \Box a]+ (-a)[a \Box 0]=(-a)[(-a)\Box 0]$

$\Rightarrow (-a)[(-a) \Box a]=2[a^2 \Box 0]$ (2)

Η (2) για a=-1

δίνει $1 \Box (-1)=2$

Από την (α) βρίσκουμε ότι $[a\Box (-b)](a-b)=[a\Box b](a+b)$ και για b=1

έχουμε $[a \Box (-1)](a-1)=(a\Box 1)(a+1)$ (3)

Από την $[1 \Box a]+(a \Box (-1))=2$ και την (3) μετά από πράξεις βρίσκουμε

$a \Box 1=a-1, \forall a \in \mathbb{Z}$ και τέλος

$a \Box b =(a \Box 1)+(1\Box b)=(a\Box 1)-(b \Box 1)=a-b, \forall a,b \in \mathbb{Z}$

#3

Πράξη!

Πράξη!

Re: Πράξη!

Re: Πράξη!

Μέλη σε σύνδεση