Ιδιότυπη συναρτησιακή

#1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ τέτοια ώστε

f (ab) = f (a) f (b) - f (a) - f (b) + 2,

για όλους τους θετικούς ακεραίους a,b

και

για κάθε $c \geq 10^{10}.$

Να δείξετε ότι f (n) = n + 1,

για κάθε

Αρχιμήδης 6 · #2

Για

και $\displaystyle b=10^{10}!$ (Διόρθωση για το παραγοντικό) έχουμε ότι f(1)=2

Aρα για

ισχύει ότι f(n)=n+1

Θα βρώ τον τύπο της συνάρτησης για n>1

.
Eπιλέγω έναν πολύ μεγάλο φυσικό

ώστε $n^{k}>(2)10^{10}!$ (Διόρθωση για το παραγοντικό. )
Για $a=n^{k-1}$ , b=n

βρίσκουμε πολύ εύκολα ότι f(n)=n+1

,

.
Άρα

για κάθε θετικό φυσικό

Edit από Γενικούς Συντονιστές.

Αρχιμήδης 6 · #3

Για να γίνω πιο κατανοητός για n>1

αν θέσουμε $a=n^{k-1}$ , b=n

όπου

τυχαίος φυσικός μεγαλύτερος του

τότε $f(n^{k-1}n)=f(n)f(n^{k-1})-f(n)-f(n^{k-1})+2$ με αγνώστους τους $f(n^{k-1}n)$ , $f(n^{k-1})$ .
H μόνη περίπτωση για να μην είναι άγνωστοι οι 2 όροι είναι όταν οι $n^{k-1}n$ , $n^{k-1}$ είναι μεγαλύτεροι του $10^{10}!$ και εδώ επιλέγουμε πολύ μεγάλο

ώστε οι 2 όροι μας να είναι πλέον γνωστοί .

Αρχιμήδης 6 · #4

H υπόδειξη είναι λάθος γιατί πολύ απλά ο $n^{k}$ που όρισα δεν είναι της

Aν θέσουμε όμως $a=(10^{10}+k)!$ , $b=10^{10}+k+1)$ για k=1,2,3,...m

θα δούμε ότι f(n)=n+1

για κάθ $n>10^{10}$ οπότε εδώ θα επιλέξουμε μεγάλο

, $n^{k-1}>10^{10}$ και για $a=n^{k-1}$ , b=n

βρίσκω ότι f(n)=n+1

Αρχιμήδης 6 · #5

H λύση διορθώθηκε.

Ιδιότυπη συναρτησιακή

Ιδιότυπη συναρτησιακή

Re: Ιδιότυπη συναρτησιακή

Re: Ιδιότυπη συναρτησιακή

Re: Ιδιότυπη συναρτησιακή

Re: Ιδιότυπη συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση