Πολυωνυμα

Atemlos · #1

Έστω $\displaystyle{Q\left( x \right)}$ ένα πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές τέτοιο ώστε :

$\displaystyle{Q\left( { - m} \right) < Q\left( m \right) < m}$

για κάποιο $\displaystyle{m}$ ακέραιο. Να δείξετε ότι $\displaystyle{Q\left( { - m} \right) < - m}$ .

Edit: Έγινε διόρθωση της αρχικής διατύπωσης,

nikoszan · #2

Φίλε Atemlos, τέτοιο πολυώνυμο δεν υπάρχει.
Φιλικά Ν.Ζ.

#3

Αν

το ζητούμενο είναι προφανές.

Έστω m>0.

Γράφουμε

όπου

πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές (Λήμμα Gauss).

Είναι $Q(-m)<Q(m) \implies -2mS(-m)<0\implies S(-m)>0 \implies S(-m)\geq 1.$

Άρα, $Q(-m)=-2mS(-m)+Q(m)\leq -2m+Q(m)<-m.$

Atemlos · #4

Η δική μου προσπάθεια είναι η εξής

Επειδή $\displaystyle{{x^n} - {y^n} = \left( {x - y} \right) \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}y + .. + {y^{n - 1}}} \right)}$

ο $\displaystyle{Q\left( m \right) - Q\left( { - m} \right)}$ θα διαιρειται απο τον $\displaystyle{2m}$ και θα ισχύει ότι:

$\displaystyle{Q\left( m \right) - Q\left( { - m} \right) \ge 2m \Rightarrow Q\left( { - m} \right) \le Q\left( m \right) - 2m}$

Άρα $\displaystyle{Q\left( { - m} \right) < m - 2m \Rightarrow Q\left( { - m} \right) < - m}$

Πολυωνυμα

Πολυωνυμα

Re: Πολυωνυμα

Re: Πολυωνυμα

Re: Πολυωνυμα

Μέλη σε σύνδεση