Όχι λόγια, πράξεις!

#1

Έστω

μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

α) Να δείξετε ότι η πράξη

είναι αντιμεταθετική, δηλαδή x * y = y * x,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

β) Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά προσεταιριστική, δηλαδή (x * y) * z = x * (y * z),

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη

στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.

ΖΩΗ · #2

socrates έγραψε:Έστω μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$ (1)
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$ (2)

α) Να δείξετε ότι η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

β) Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε $x,y,z \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.

Για το (α): Έστω $a, b \in \mathbb{Z}$ .

Από την (1)

, για

και

έχουμε $\left(a*b \right)*\left(\left(a*b \right)*b \right)=b$ .(3)

Από την (2)

, για

και

, έχουμε: $\left(a*b \right)*b=a$ .(4)

Η (3)

, λόγω της (4)

γίνεται: $\left(a*b \right)*a=b$ .(5)

Επομένως, $b*a \overset{(5)}{=} \left(\left(a*b \right)*a\right)*a$ .(6)

Από την (2)

, για

και

, έχουμε: $\left(\left(a*b \right)*a \right)*a = a*b$ .(7)

Οπότε από τις (6),(7)

έχουμε $a*b = b*a, \forall a, b \in \mathbb{Z}$ , δηλαδή η πράξη

είναι αντιμεταθετική.

ΖΩΗ · #3

socrates έγραψε:Έστω μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

α) Να δείξετε ότι η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

β) Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε $x,y,z \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.

Για το (γ):

Ψάχνουμε μία πράξη $* : \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,n\} \to \{1,2,...,n\}$ ή $* : \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,n\} \to \mathbb{Z}$ ;

#4

ΖΩΗ έγραψε:
socrates έγραψε:Έστω μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

α) Να δείξετε ότι η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

β) Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε $x,y,z \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.

Για το (γ):

Ψάχνουμε μία πράξη $* : \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,n\} \to \{1,2,...,n\}$ ή $* : \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,n\} \to \mathbb{Z}$ ;

Στο γ) η πράξη είναι $* : \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,n\} \to \{1,2,...,n\}$ . Συγγνώμη για το ασαφές.

ΖΩΗ · #5

socrates έγραψε:Έστω μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

α) Να δείξετε ότι η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

β) Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε $x,y,z \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.

Για το (β):

Θα ορίσουμε μία πράξη που πληροί τα αξιώματα της πράξης

η οποία δεν θα είναι προσεταιριστική οπότε η απάντηση στο (β) είναι αρνητική.

Ορίζουμε $*: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ ως εξής: m*n = -m-n

.

Είναι m* ( m*n) = m *(-m-n) = -m-(-m-n) = n

και

ενώ $0*(1*1) = 2 \neq 0 = (0*1)*1$ .

#6

socrates έγραψε:Έστω μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.

Μία τέτοια πράξη είναι η $x*y=(-x-y)\ \mod n.$

Όχι λόγια, πράξεις!

Όχι λόγια, πράξεις!

Re: Όχι λόγια, πράξεις!

Re: Όχι λόγια, πράξεις!

Re: Όχι λόγια, πράξεις!

Re: Όχι λόγια, πράξεις!

Re: Όχι λόγια, πράξεις!

Μέλη σε σύνδεση