Συναρτησιακή

#1

Την έχουμε συζητήσει; Ο Θανάσης ξέρει...

Πάντως μου φαίνεται καλή...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν την σχέση

$f\left(xf(x)+f(y) \right)=\left(f(x)\right)^2+y ,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$

#2

s.kap έγραψε:Την έχουμε συζητήσει; Ο Θανάσης ξέρει...

Πάντως μου φαίνεται καλή...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν την σχέση

$f\left(xf(x)+f(y) \right)=\left(f(x)\right)^2+y ,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Για

παίρνουμε $f(f(y))=f^2(0)+y \ \ (1)$ απ' όπου είναι εύκολο να δείξουμε ότι η f είναι 1-1

και επί (για το επί: για κάθε $y_0\in\mathbb{R}$ επιλέγω $x_0=f\left(y_0-f^2(0)\right)$ και τότε f(x_0)=y_0

).

Συνεπώς υπάρχει αριθμός

ώστε

οπότε για

παίρνουμε $f(f(y))=y \ \ (1)$ οπότε συγκρίνοντάς την με την (1)

παίρνουμε

.

Για

η αρχική δίνει: f(xf(x))=f^2(x)

οπότε με χρήση αυτής και της (2)

έχουμε διαδοχικά

$f^2(x)=f\big(xf(x)\big)=f\Big(f(x)f\big(f(x)\big)\Big)=f^2\big(f(x)\big)=x^2$ οπότε

$\Big(f(x)=x$ ή $f(x)=-x\Big)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Αν τώρα υπήρχαν $s,t\neq 0$ ώστε f(s)=s

και

τότε η αρχική για x=s

και

δίνει:

απ' όπου παίρνουμε

s^2-t=s^2+t

είτε

δηλαδή

ή

, άτοπο.

Άρα τελικά $\boxed{f(x)=x, \ \forall \ x\in\mathbb{R}}$ ή $\boxed{f(x)=-x, \ \forall \ x\in\mathbb{R}}$

Αλέξανδρος

#3

ΒΜΟ 1997 & 2000
https://artofproblemsolving.com/communi ... _balkan_mo

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση