Συναρτησιακή με λογάριθμο

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ τέτοιες ώστε $\log_{n+1}f(n)=\log_{f(n+2)}(n+3) ,$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*.$

Αρχιμήδης 6 · #2

Απο την δοθείσα έχουμε $\log_{n+1}f(n)=\log_{f(n+2)}(n+3)=g(n)$
$(n+1)^{g(n)}=f(n)$ (1)
$f(n+2)^{g(n)}=n+3$ (2)
Απο τις σχέσεις (1) , (2) πέρνουμε... g(n)g(n+2)=1

και με επαγωγή αποδυκνύεις ότι
g(n)=g(n-4[n/4])

(3)
Oπότε αν f(1)=a

,

τότε $g(1)=\log_{2}a$ , $g(2)=\log_{2}b$ , $g(3)=\log_{a}2$ , $g(4)=\log_{b}2$ Απο την (1),(3) .... $f(n)=(n+1)^{g(n-4[n/4])}$ (Για n=0mod4

τότε επειδή g δεν έχει στο πεδίο ορισμού το

, θεωρούμε g(0)=g(4)

)
η πιο απλά αν δούμε το

στο σύστημα mod4

τότε $f(4k+1)=(4k+2)^{g(1)}$ , $f(4k+2)=(4k+3)^{g(2)}$ , $f(4k+3)=(4k+4)^{g(3)}$ , $f(4k+4)=(4k+5)^{g(4)}$

Αρχιμήδης 6 · #3

Για την περίπτωση όπου η συνάρτηση g είναι σταθερή εύκολα βρίσκουμε αν θέσουμε n=1

από τις (1) , (2) ότι f(n)=n+1

ή $f(n)=(n+1)^{-1}$

Αρχιμήδης 6 · #4

Θανάση είναι σωστές οι λύσεις που βρήκα ? Ρωτάω , γιατί δεν έχω πολύ καλές σχέσεις με τις συναρτήσεις...

#5

Ωραία Δημήτρη! Η άσκηση είναι από εδώ.

Αρχιμήδης 6 · #6

Έγινε το θαύμα....Ευχαριστώ για την παραπομπή Θανάση ...

Συναρτησιακή με λογάριθμο

Συναρτησιακή με λογάριθμο

Re: Συναρτησιακή με λογάριθμο

Re: Συναρτησιακή με λογάριθμο

Re: Συναρτησιακή με λογάριθμο

Re: Συναρτησιακή με λογάριθμο

Re: Συναρτησιακή με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση