Συναρτησιακή!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^*\to \mathbb{R},$ με $f(\Bbb{R}^*)=\Bbb{R}\setminus \{1\},$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{f(xy) = f(x)f(-y) - f(x) + f(y),}$ για κάθε $x,y\ne 0$ και

$\displaystyle{f(f(x))f\left(\frac{1}{x}\right)=1,$ για κάθε $x\notin \{0,1\}.$

Edit: Έγινε διόρθωση στη δεύτερη συνθήκη. Ευχαριστώ τον Pla.pa.s

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^*\to \mathbb{R},$ με $f(\Bbb{R}^*)=\Bbb{R}\setminus \{1\} (1)$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{f(xy) = f(x)f(-y) - f(x) + f(y),}$ (2) για κάθε $x,y\ne 0$ και

$\displaystyle{f(f(x))f\left(\frac{1}{x}\right)=1,$ (3) για κάθε $x\notin \{0,1\}.$

Edit: Έγινε διόρθωση στη δεύτερη συνθήκη. Ευχαριστώ τον Pla.pa.s

Από την (1) βρίσκουμε ότι για κάποιο $x_0 \neq 0$ έχουμε f(x_0)=0

Άρα η (2) για x=x_0

δίνει

και για

έχουμε

Η (2) για

δίνει $f(x)=f(x)f(-1)-f(x) \Rightarrow f(-1)=2$ και η (2) για y=-1

δίνει

, συνεπώς η (2) δίνει $f(xy)=f(x)\left(2-f(y)\right)-f(x)+f(y)$ (4)

Και η (4) για $y=\frac {1}{x}$ δίνει $0=2f(x)-f(x)f\left(\frac {1}{x}\right)-f(x)+f\left(\frac {1}{x}\right)$ και από την (3)

μετά από πράξεις δίνει

$\frac {f(x)}{f(f(x))}=f(x)+\frac {1}{f(f(x))}$ και για $y \neq 1$ έχουμε

$\frac {y}{f(y)}=y+\frac {1}{f(y)} \Rightarrow f(y)=\frac {y-1}{y}, y \neq 1$

Συναρτησιακή!

Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση