Κι άλλη πράξη

#1

Αν $\Bbb{S}$ ένα μη κενό σύνολο και $\circ: \mathbb{S} \times \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ μία προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει $a\circ b\neq b\circ a$ για κάθε $a\neq b ,$
να δειχθεί ότι $(a\circ b)\circ c = a\circ c , \ \forall a,b,c\in \Bbb{S}$ και να βρεθεί παράδειγμα τέτοιας πράξης.

#2

Παρατηρούμε πρώτα ότι για κάθε $a \in \mathbb{S}$ , από τη σχέση $\displaystyle{a \circ \left( {a \circ a} \right) = \left( {a \circ a} \right) \circ a}$ και την υπόθεση, προκύπτει ότι $\displaystyle{\boxed{a \circ a = a}}$ (1).

Έστω τώρα $a, b \in \mathbb{S}$ . Τότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση (1), έχουμε ότι:

$\displaystyle{a \circ \left( {a \circ \left( {b \circ a} \right)} \right) = \left( {a \circ a} \right) \circ \left( {b \circ a} \right) = a \circ \left( {b \circ a} \right) = \left( {a \circ b} \right) \circ a$

$= \left( {a \circ b} \right) \circ \left( {a \circ a} \right) = \left( {a \circ \left( {b \circ a} \right)} \right) \circ a}.$

Από την υπόθεση προκύπτει ότι για κάθε $a, b \in \mathbb{S}$ ισχύει:

$\displaystyle{\boxed{a \circ \left( {b \circ a} \right) = a}}$ (2) .

Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε $a, b,c \in \mathbb{S}$ τα στοιχεία $\displaystyle{a \circ \left( {b \circ c} \right)}$ και $\displaystyle{a \circ c}$ μετατίθενται, οπότε θα είναι ίσα. Πράγματι, έχουμε:

$\displaystyle{\left( {a \circ \left( {b \circ c} \right)} \right) \circ \left( {a \circ c} \right) = \left( {a \circ b} \right) \circ \left( {c \circ \left( {a \circ c} \right)} \right)\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \left( {a \circ b} \right) \circ c = a \circ \left( {b \circ c} \right) }$

$\displaystyle{\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \left( {a \circ \left( {c \circ a} \right)} \right) \circ \left( {b \circ c} \right) = \left( {a \circ c} \right) \circ \left( {a \circ \left( {b \circ c} \right)} \right)}$

και το συμπέρασμα έπεται.

Ως παράδειγμα τέτοιας πράξης, μπορούμε να θεωρήσουμε το εξής: Για κάθε σύνολο $\mathbb{S}$ και για κάθε $a, b \in \mathbb{S}$ , ορίζουμε $\displaystyle{a \circ b = a}$ . Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η πράξη αυτή ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

Κι άλλη πράξη

Κι άλλη πράξη

Re: Κι άλλη πράξη

Μέλη σε σύνδεση