Πράξη στον πίνακα ΙΙ

#1

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{ 1, 2, 3, .., 2001.}$
Παίρνουμε δύο οποιουσδήποτε από αυτούς, έστω

και

, και τους αντικαθιστούμε με τον αριθμό $\displaystyle \frac{ab}{a+b+1}.$ (τον τελευταίο αριθμό τον γράφουμε μία μόνο φορά).
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία έως ότου μείνει ένας μόνο αριθμός.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

#2

socrates έγραψε:Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{ 1, 2, 3, .., 2001.}$
Παίρνουμε δύο οποιουσδήποτε από αυτούς, έστω και , και τους αντικαθιστούμε με τον αριθμό $\displaystyle \frac{ab}{a+b+1}.$ (τον τελευταίο αριθμό τον γράφουμε μία μόνο φορά).
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία έως ότου μείνει ένας μόνο αριθμός.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Απάντηση: 2002

Αν

ο καινούργιος αριθμός αφού σβήσουμε τους $a, \, b$ , παρατηρούμε ότι $\displaystyle \frac {s+1}{s} = \frac {\frac{ab}{a+b+1}+1}{\frac{ab}{a+b+1}}=... =\frac {a+1}{a}\cdot \frac{b+1}{b}$ . Συνεπώς, το γινόμενο $\displaystyle \prod_1^{2001} \frac {n+1}{n}=2002$ (τηλεσκοπικά) δεν θα αλλάξει τιμή. Άρα αυτό είναι και το τελικό αποτέλεσμα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Πράξη στον πίνακα ΙΙ

Πράξη στον πίνακα ΙΙ

Re: Πράξη στον πίνακα ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση