Ομάδα!

#1

Έστω $\Bbb{S}$ ένα μη κενό σύνολο και $\circ: \mathbb{S} \times \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ μία προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει η διαγραφή από αριστερά.
Αν υπάρχει $a\in \Bbb{S}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ x^{3}=a\circ x\circ a }$ για κάθε $x\in \Bbb{S},$ nα δείξετε ότι η $\circ$ είναι αβελιανή ομάδα.

#2

socrates έγραψε:Έστω $\Bbb{S}$ ένα μη κενό σύνολο και $\circ: \mathbb{S} \times \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ μία προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει η διαγραφή από αριστερά.
Αν υπάρχει $a\in \Bbb{S}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ x^{3}=a\circ x\circ a }$ για κάθε $x\in \Bbb{S},$ nα δείξετε ότι η $\circ$ είναι αβελιανή ομάδα.

Αν στη θέση του

στην δοθείσα βάλουμε το $a \circ x$ έχουμε

$a \circ x \circ a \circ x \circ a \circ x = a \circ a \circ x \circ a \Rightarrow$

$x \circ a \circ x \circ a \circ x=a \circ x \circ a\Rightarrow$

$x \circ a \circ x \circ a \circ x=x \circ x \circ x \Rightarrow$

$a\circ x \circ a \circ x =x \circ x \Rightarrow$

$x \circ x \circ x \circ x = x \circ x \Rightarrow$

$\boxed{x \circ x \circ x =x,\ \forall x}$ (1)

Άρα $a \circ a \circ a=a$

Συνεπώς η αρχική δίνει $x=a \circ x \circ a \Rightarrow a^2 \circ x=a^3 \circ x \circ a \Rightarrow$

$\boxed{a^2 \circ x =x}$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι $\boxed{x \circ a^2=x}$ , άρα το a^2

είναι το ουδέτερο στοιχείο του συνόλου.

Έχουμε $x=a \circ x \circ a \Rightarrow a^2 \circ x =a^3 \circ x \circ a \Rightarrow a^2 \circ x =a \circ x \circ a\Rightarrow$

$\boxed{a\circ x =x \circ a}$ (2)

$x^3=a \circ x \circ a \Rightarrow x^3=x \circ a \circ a \Rightarrow x^2=a \circ a$

Άρα κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο τον εαυτό του, συνεπώς το σύνολο είναι ομάδα, άρα ισχύει και η διαγραφή από

δεξιά.

Έχουμε

$x\circ y \circ x \circ y \circ x \circ y =a \circ x \circ y \circ a \Rightarrow$

$x\circ y \circ x \circ y \circ x \circ y =a \circ x \circ a \circ y \Rightarrow$

$x\circ y \circ x \circ y \circ x =a \circ x \circ a \Rightarrow$

$x\circ y \circ x \circ y \circ x =x^3\Rightarrow$

$y \circ x \circ y =x \Rightarrow$

$y \circ x \circ y^2 =x \circ y \Rightarrow$

$y \circ x= x \circ y$ , άρα η ομάδα είναι αβελιανή

Ομάδα!

Ομάδα!

Re: Ομάδα!

Μέλη σε σύνδεση