Γεωμετρική πράξη

#1

Έστω

μια πράξη στο επίπεδο που ορίζεται ως: αν

και

είναι δύο σημεία του επιπέδου τότε C=A*B

είναι η τρίτη κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

κατά την θετική φορά.
Βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC

αν ισχύει

#2

socrates έγραψε:Έστω μια πράξη στο επίπεδο που ορίζεται ως: αν και είναι δύο σημεία του επιπέδου τότε είναι η τρίτη κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου κατά την θετική φορά.
Βρείτε τις γωνίες του τριγώνου αν ισχύει

Μια προσπάθεια στην ωραία Γεωμετρική Πράξη του Θανάση

έστω B,C

δύο τυχαία σημεία
B*C

(σχήμα) θα είναι η τρίτη κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου μέσω της πράξης

αν

τυχαίο σημείο
τα σημεία $D\equiv A*(B*C),~~D{'}\equiv (C*A)*B$ ταυτίζονται.

λόγω των ισόπλευρων τριγώνων το $D\equiv D{'}$ ισαπέχει από τα B,~ B*C,~ C*A,~ A

άρα το $D\equiv C$ , το

είναι η τέταρτη κορυφή του ρόμβου που σχηματίζεται (σχήμα)

και οι γωνίες του τριγώνου $\vartriangle ABC\longrightarrow 30^o,30^o,120^o$

#3

Η μεταφορά της πράξης στο μιγαδικό επίπεδο είναι $\displaystyle{x*y=x+j(y-x),\forall x,y\in C,j=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}$

Μετά τις πραξεις καταλήγουμε $\displaystyle{b-a=i\sqrt{3}(2c-a-b)}$ ή αν $\displaystyle{u=c-a,v=c-b}$ τότε $\displaystyle{u-v=i\sqrt{3}(u+v)}$

Συνεπώς $\displaystyle{|u|=|v|}$ και αφού $\displaystyle{|u-v|=\sqrt{3}|u+v|}$ η γωνία $\displaystyle{\phi}$ του φορέα του $\displaystyle{v}$ και του φορέα του
$\displaystyle{u+v}$ είναι $\displaystyle{\pi /3}$ . Τότε $\displaystyle{|u|=|v|=|u+v|}$ άρα $\displaystyle{1=|w|=|1+w|}$ δηλαδή o $\displaystyle{w=v/u}$ είναι μια από τις κυβικές ρίζες του 1 άρα η γωνία $\displaystyle{ACB=Arg\frac{c-a}{c-b}Arg\frac{u}{v}=2\pi /3}$ και αφού $\displaystyle{|u|=|v|}$ οι άλλες γωνίες του ισοσκελούς $\displaystyle{ACB}$ είναι ίσες με $\displaystyle{\pi /6}$

Γεωμετρική πράξη

Γεωμετρική πράξη

Re: Γεωμετρική πράξη

Re: Γεωμετρική πράξη

Μέλη σε σύνδεση