Ομάδα

#1

Έστω $M=[1,+\infty)$ και η πράξη $\circ: M \times M \to M$ με $a\circ b = ab+\sqrt{(a^{2}-1)(b^{2}-1)}.$
Να δείξετε ότι είναι προσεταιριστική.

#2

Διορθώθηκε η εκφώνηση. Ευχαριστώ τον Κώστα!

air · #3

$a\circ (b\circ c)=a(\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)} + bc)+\sqrt{(a^2-1)[(\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)}+bc)^2-1]}$

Όμως ισχύει ότι

$(\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)}+bc)^2-1=2b^2c^2-b^2-c^2+2bc\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)}= \\ =b^2(c^2-1)+c^2(b^2-1)+2bc\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)}=(b\sqrt{c^2-1}+c\sqrt{b^2-1})^2$
και άρα:

$a\circ (b\circ c)=abc+a\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)}+b\sqrt{(a^2-1)(c^2-1)}+c\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$ και λόγω συμμετρίας προκύπτει το ζητούμενο.

kwstas12345 · #4

Άς το δουμε και κάπως αλλιώς.Αφού $\displaystyle a,b,c \geqslant 1$ τότε θέτουμε $\displaystyle a=\cosh x, b=\coh y, c=\cosh z, x,y,z>0$ από την γνωστή σχέση $\displaystyle \cosh^2 w-\sinh^2 w=1\Rightarrow \sin h w=\sqrt{\cosh^2{w}-1},w>0$ . Tότε έχουμε $\displaystyle a \circ b=\cosh x \cosh y+\sinh x\sin y=\cosh\left(x+y \right)$ και τότε $\displaystyle \left(a\circ b \right)\circc=\left(\cosh\left(x+y \right) \right)\circ \left(\cosh z \right)=\cosh\left(x+y+z \right)$ και $\displaystyle a \circ \left(b \circ c \right)=\left(\cosh x \right)\circ \left(\cosh\left(y+z \right) \right)=\cosh\left(x+y+z \right)$ . Άρα ισχύει $\displaystyle a\circ \left(b \circ c \right)=\left(a \circ b \right)\circ c$ και η πράξη είναι προσεταιριστική.

Ομάδα

Ομάδα

Re: Ομάδα

Re: Ομάδα

Re: Ομάδα

Μέλη σε σύνδεση