Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (7)

#1

Για τη συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ ισχύουν
α) $f(a)+x-a\leq f(x)\leq f(b)+x-b,$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$
β) 5f(x)=f(2x)+f(3x)

για κάθε $x\in\Bbb{R}$
Nα αποδείξετε ότι $f(x)=x , \forall x\in\Bbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Για τη συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ ισχύουν
α) $f(a)+x-a\leq f(x)\leq f(b)+x-b,$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$
β) για κάθε $x\in\Bbb{R}$
Nα αποδείξετε ότι $f(x)=x , \forall x\in\Bbb{R}.$

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=x+g(x)}$ και θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{g(x)\equiv 0.}$

Τα δεδομένα γράφονται

$\displaystyle{g(a)\leq g(x)\leq g(b)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ (1)

και

$\displaystyle{5g(x)=g(2x)+g(3x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ (2)

Η (2) για $\displaystyle{x=a}$ δίνει $\displaystyle{5g(a)=g(2a)+g(3a)}$ , οπότε λόγω της (1) είναι $\displaystyle{5g(a)\geq g(a)+g(a)}$ άρα $\displaystyle{\boxed{g(a)\geq 0}}$ (3)

Η (2) για $\displaystyle{x=b}$ δίνει $\displaystyle{5g(b)=g(2b)+g(3b)}$ , οπότε λόγω της (1) είναι $\displaystyle{5g(b)\leq g(b)+g(b)}$ άρα $\displaystyle{\boxed{g(b)\leq 0}}$ (4).

Από τις (1),(3),(4) προκύπτει το ζητούμενο.

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (7)

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (7)

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (7)

Μέλη σε σύνδεση