Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (9)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6603; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (9)

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 05, 2012 7:18 pm

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : [0,+\infty)\to \Bbb{R}$ ισχύει $(e^{f(x)}-e^x) f{'}(x) = (f(x)-x)e^x,$ για κάθε $x\in [0,+\infty)$ και f(0)=0.

Να βρεθεί ο τύπος της

Θανάσης Κοντογεώργης

R BORIS: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 2395; Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am; Επικοινωνία:
Επικοινωνία R BORIS

Ιστοσελίδα

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (9)

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Μαρ 05, 2012 9:00 pm

η Δ.Ε γίνεται $\displaystyle{(e^{f(x)})'-(e^xf'(x)+(e^x)'f(x))+xe^x=0\Rightarrow (e^{f(x)}-e^xf'(x))'+((x-1)e^x)'=0}$ άρα
$\displaystyle{e^{f(x)-x}=f(x)-x+1+c}$ με $\displaystyle{c=0}$ λόγω της αρχικής συνθήκης $\displaystyle{f(0)=0}$
όμως η εξίσωση $\displaystyle{e^z=z+1}$ έχει για μοναδική λύση την $\displaystyle{z=0}$ άρα $\displaystyle{f(x)=x,x\in R}$

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης