ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\begin{array}{l} {x^2}{\left( {y + z} \right)^2} = \left( {3{x^2} + x + 1} \right){y^2}{z^2}\\ {y^2}{\left( {z + x} \right)^2} = \left( {4{y^2} + y + 1} \right){z^2}{x^2}\\ {z^2}{\left( {x + y} \right)^2} = \left( {5{z^2} + z + 1} \right){x^2}{y^2} \end{array}}$
όπου $\displaystyle{x,y,z \in R}$

#2

Ας είναι $\displaystyle{x,y,z \in R}$ για τους οποίους

${x^2}{\left( {y + z} \right)^2} = \left( {3{x^2} + x + 1} \right){y^2}{z^2}$

${y^2}{\left( {z + x} \right)^2} = \left( {4{y^2} + y + 1} \right){z^2}{x^2}$

${z^2}{\left( {x + y} \right)^2} = \left( {5{z^2} + z + 1} \right){x^2}{y^2}$

$\bullet$ Αν κάποιος από τους $\displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R}$ είναι μηδέν, τότε και ένας δεύτερος είναι μηδέν.

Οι τριάδες $\left(k,0,0 \right),\left(0,k,0 \right),\left(0,0,k \right)$ όπου $k\in\mathbb{R}$ είναι όλες λύσεις του συτήματος. Αυτές είναι οι μόνες λύσεις όπου κάποιος άγνωστος είναι μηδέν.

$\bullet$ Αν κανένας από τους $\displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R}}$ δεν είναι μηδέν, τότε:

(b+c)^2=a^2+a+3

όπου $\displaystyle{a=\frac{1}{x}}$ , $\displaystyle{b=\frac{1}{y}}$ και $\displaystyle{c=\frac{1}{z}}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=a+b+c+12

Άρα $\left(a+b+c \right)^2=(a+b+c)+12$ οπότε

a+b+c=4

ή

.

Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε $\displaystyle{\left(a,b,c \right)=\left(\frac{13}{9},\frac{4}{3},\frac{11}{9} \right)}$

οπότε $\displaystyle{\left(x,y,z \right)=\left(\frac{9}{13},\frac{3}{4},\frac{9}{11} \right)}$ .

Στην δεύτερη περίπτωση βρίσκουμε $\displaystyle{\left(a,b,c \right)=\left(-\frac{6}{5},-1,-\frac{4}{5} \right)}$

οπότε $\displaystyle{\left(x,y,z \right)=\left(-\frac{5}{6},-1,-\frac{5}{4} \right)}$ .

nikoszan · #3

Παύλο,

Ν.Ζ.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

Μέλη σε σύνδεση