Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (12)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (12)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x+y)=f(x^3)+f(y^3), \ \forall x,y \in\mathbb{R}.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Alex1994
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τρί Μαρ 15, 2011 7:48 pm

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (12)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Alex1994 »

Θέτω x=y=0 και έχω f(0)=2f(0) άρα f(0)=0. Θέτω y=0 και έχω f(x^3)=f(x) άρα f(x+y)=f(x)+f(y). Για κάθε ακέραιο x έχω f(x)=0,(διότι f(x+y)=f(x)+f(y) οπότε f(x)=cx για ρητούς,επίσης f(x)=f(x^3)\rightarrow cx=cx^3 άρα c=0)άρα f(x+1)=f(x)=f(x-1).
Άρα f((x+1)^3)=f(x^3)+3f(x^2)+3f(x)=f(x+1)=f(x) οπότε 3f(x^2)+3f(x)=0 άρα f(x^2)=-f(x). Όμως έχω f(-x)=-f(x) και f(x^2)=f((-x)^2) άρα f(x)=f(-x)=-f(x) οπότε f(x)=0.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Alex1994 την Τρί Απρ 03, 2012 9:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
Marios V.
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος/Αγγλία

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (12)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Marios V. »

λίγο διαφορετικά:
με, x,y=0 έχουμε f(0)=0.
με x=0, έχουμε f(x)=f(x^3)+f(0)=f(x^3)
με x=y, έχουμε f(2x)=2f(x)
oπότε, αν x=z^3:
8f(x)=8f(z^3)=...=f(8z^3)=f(2z)=2f(z)=2f(z^3)=2f(x)
οπότε f(x)=0.
Μάριος Βοσκού
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης