Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

#1

Δεν θυμάμαι αν την έχουμε λύσει και που, μια και η αναζήτηση δεν μου έδωσε τίποτα στις πρώτες 5 σελίδες .Τη βάζω όμως για να μη λείπει από το αρχείο μας.

ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί το σύστημα :

$\displaystyle{\,\,(\Sigma )\,\,\,: & \,\,\,\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}} {x - \sqrt y = 72}\\ {y - \sqrt z = 72}\\ {z - \sqrt x = 72} \end{array}} \right.}$

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δεν θυμάμαι αν την έχουμε λύσει και που, μια και η αναζήτηση δεν μου έδωσε τίποτα στις πρώτες 5 σελίδες .Τη βάζω όμως για να μη λείπει από το αρχείο μας.

ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί το σύστημα :

$\displaystyle{\,\,(\Sigma )\,\,\,: & \,\,\,\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}} {x - \sqrt y = 72}\\ {y - \sqrt z = 72}\\ {z - \sqrt x = 72} \end{array}} \right.}$

Μπάμπης

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\,\,(\Sigma' )\,\,\,: & \,\,\,\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}} {f(y)=x}\\ {f(z)=y}\\ {f(x)=z} \end{array}} \right.}$

όπου $f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}$ με $f(x)=72+\sqrt{x}$ .

Αν (a,b,c)

είναι μια λύση του συστήματος, τότε f(f(f(a))=a

,

και

.

Αφού η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, οι a,b,c

πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης f(x)=x

.

Αλλά

αν και μόνο αν x=81

.

Συνεπώς, η μοναδική λύση είναι η (x,y,z)=(81,81,81)

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #3

Έγινε λάθος σε πρόσημο.

#4

Δείτε κι ενα προηγούμενο μήνυμα του Μπάμπη....

viewtopic.php?f=58&t=20613&p=103807#p103798

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #5

Μετά την άριστη λύση του Αχιλλέα και μετά τη διαπύστωση ένός λάθους προσήμου στην προηγούμενη παρέμβαση μου, μία διαπραγμάτευση με στοιχειώδη τρόπο.
Λύνουμε ισοδύναμα το σύστημα:
${a^2 - b = 72 > 0 \Leftrightarrow b = a^2 - 72,} \\ {b^2 - c = 72 > 0 \Leftrightarrow c = b^2 - 72,} \\ {c^2 - a = 72 > 0 \Leftrightarrow a = c^2 - 72,} \\ {a,b,c > 0} \Rightarrow abc > 1.$

Αν a=b

ή

, έχουμε

δηλαδή

.

Έστω $a > b > c \Rightarrow a > 1.$

$\matrix {a > c \Rightarrow c^2 - 72 > c \Rightarrow c^2 - c - 72 > 0,\quad a > b \Rightarrow a > a^2 - 72 \Rightarrow \;} \\ {0 > a^2 - a - 72 \Rightarrow c^2 - c - 72 > a^2 - a - 72 \Rightarrow 0 > \left( {a - c} \right)\left( {a + c - 1} \right),} \\$
άτοπο.
Επομένως η μοναδική λύση είναι η (81, 81, 81)

.

(*) Θεωρήθηκε $a = \sqrt x ,\quad b = \sqrt y ,\quad c = \sqrt z .$

Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

Re: Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

Re: Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

Re: Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

Re: Σύστημα με ριζικά- κυκλικό !

Μέλη σε σύνδεση