Μια πράξη από το MR

#1

Έστω

μια προσεταιριστική και "πλήρως μη αντιμεταθετική" δυαδική πράξη (δηλαδή $x \ne y \implies x * y \ne y * x$ ) σε ένα σύνολο $\mathcal{ S}.$
Να δείξετε ότι x * y * z = x * z,

για κάθε $x, y, z \in \mathcal{S}.$

#2

Από την υπόθεση προκύπτει ότι για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathcal{S}}$ ισχύει η συνεπαγωγή:

$\displaystyle{\boxed{x * y = y * x \Rightarrow x = y}}$ $\color{red} \left(\spadesuit\right)$ .

Αν $\displaystyle{x \in \mathcal{S}}$ , τότε από τη σχέση $\displaystyle{x * \left( {x * x} \right) = \left( {x * x} \right) * x}$ και την $\color{red} \left(\spadesuit\right)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\boxed{{x * x = x}}.$

Αν $\displaystyle{x,y \in \mathcal{S}}$ , τότε από τη σχέση

$\displaystyle{x * \left( {x * y * x} \right) = \left( {x * x} \right) * \left( {y * x} \right) = x * \left( {y * x} \right) = \left( {x * y} \right) * x = \left( {x * y} \right) * \left( {x * x} \right) = \left( {x * y * x} \right) * x}$

και την $\color{red} \left(\spadesuit\right)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\boxed{x * y * x = x}}.$

Επομένως, αν $\displaystyle{x,y,z \in \mathcal{S}}$ , τότε από τις σχέσεις

$\displaystyle{\left( {x * y * z} \right) * \left( {x * z} \right) = \left( {x * \left( {y * z} \right) * x} \right) * z = x * z}$

και

$\displaystyle{\left( {x * z} \right) * \left( {x * y * z} \right) = x * \left( {z * \left( {x * y} \right) * z} \right) = x * z}$

προκύπτει ότι

$\displaystyle{\left( {x * y * z} \right) * \left( {x * z} \right) = \left( {x * z} \right) * \left( {x * y * z} \right)}$

και άρα από την $\color{red} \left(\spadesuit\right)$ θα έχουμε ότι:

$\displaystyle{\boxed{x * y * z = x * z}}$ .

Μια πράξη από το MR

Μια πράξη από το MR

Re: Μια πράξη από το MR

Μέλη σε σύνδεση