Συναρτησιακή για εξάσκηση!!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^{2}+f(y))=y+xf(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Mikesar · #2

Καλησπέρα Θανάση! Μια ιδέα με επιφύλαξη λόγω περασμένης ώρας...
Η συνάρτηση είναι προφανώς 1-1 και επί.

Για $x\rightarrow0, f(f(y))=y$ .

Έστω a:f(a)=0.

Για $x\rightarrow a, f(a^2+f(y))=y\Leftrightarrow f(a^2+f(y))=f(f(y))\Leftrightarrow$ \displaystyle{a^2+f(y)=f(y)\Leftrightarrow a=0 Για

x\rightarrow f(x), f(f^2(x)+f(y))=y+f(x)f(f(x))\Leftrightarrow} $f(f^2(x)+f(y))=y+xf(x)\Leftrightarrow$

$f(f^2(x)+f(y))=f(x^2+f(y))\Leftrightarrow f^2(x)=x^2\Leftrightarrow {f(x)=x}$ ή {f(x)=-x}

.

Τώρα θα δείξω ότι δεν γίνεται να ισχύει ταυτόχρονα $f(u)=u, f(v)=-v, u,v\ne0$ .

Για $x\rightarrow u, y\rightarrow v, f(u^2+f(v))=v+uf(u)\Leftrightarrow f(u^2-v)=v+u^2$ . Όμως η τελευταία σχέση είναι αδύνατη αφού f(u^2-v)=u^2-v

ή

.
Συνεπώς θα είναι $\boxed{f(x)=x \ \forall \ x\in\mathBB{R}}$ ή $\boxed{f(x)=-x \ \forall \ x\in\mathBB{R}}$

Υ.Γ: Δεν ξέρω γιατί, αλλά οι σειρές είναι κάπως "ανάκατες". Αν μπορεί ένας διαχειριστής να τις διορθώσει ή κάποιος να μου πει πως να τις φτιάξω, θα του ήμουν ευγνώμον.

τακτοποιήθηκε το θέμα των ''ανάκατων σειρών''
Φωτεινή

Συναρτησιακή για εξάσκηση!!

Συναρτησιακή για εξάσκηση!!

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση!!

Μέλη σε σύνδεση