Συναρτησιακή για εξάσκηση..

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (f(x)+f(y))(f(z)+1)=f(xz-y)+f(x+yz) ,

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Andreas Dalaoutis · #2

Έστω

η αρχική.

Απ' την (1)

για

θα πάρουμε ότι f(0)=0

.

Τώρα από την (1)

για

έχουμε ότι: f(x)f(z)=f(xz)

η οποία είναι η γνωστή δυναμοσυνάρτηση του Cauchy.

Ίσως να έχω κάποιο λάθος στις πράξεις, ειδάλλως είναι αρκετά απλή.

#3

Επαναφορά!

#4

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

$x=y=z=0\implies f(0)=0$

$z=0\implies f(-y)=f(y).$

$y=0\implies f(xz)=f(x)f(z) \ (*)$ οπότε $f(x^2)=f^2(x)\geq 0$ δηλαδή $f(x)\geq 0$ όταν $x\geq 0.$

Ακόμη $f^2(1)=f(1)\implies f(1)\in \{0,1\}.$

-- Αν f(1)=0

τότε $f(x)=f(x\cdot 1)=f(x)f(1)=0$ οπότε $f\equiv 0$ που είναι λύση.

-- Αν f(1)=1

τότε $f\left(\frac{x}{y}\right)\stackrel{*}{=}f(x)f\left(\frac{1}{y}\right)\stackrel{*}{=}f(x)\frac{f(1)}{f(y)}=\frac{f(x)}{f(y)} \ (**)$

$z=\frac{y}{x},x\ne 0 \stackrel{(**)}{\implies} f(x^2+y^2)=(f(x)+f(y))^2$ που λόγω της (*)

ισχύει και για x=0.

Η σχέση

με $x\to \sqrt{x}$ και $y\to \sqrt{y}$ γίνεται $\sqrt{f(x+y)}=f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})=\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)},$ για κάθε $x,y\geq 0.$

Οπότε $\sqrt{f(x)}=cx\implies f(x)=cx^2,$ για κάθε $x\geq 0,$ και από την άρτια συμμετρία είναι τελικά

για κάθε $x \in \Bbb{R}.$

Και αφού f(1)=1

είναι

και άρα

συνάρτηση που είναι λύση της δοσμένης συναρτησιακής εξίσωσης.

Συναρτησιακή για εξάσκηση..

Συναρτησιακή για εξάσκηση..

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση..

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση..

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση..

Μέλη σε σύνδεση