Εξάσκηση στην Cauchy !

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+f(y)) = f(x)+y^{n} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου $n\in \Bbb{N}^*.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+f(y)) = f(x)+y^{n} ,$ (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου $n\in \Bbb{N}^*.$

Για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0}$ , επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.

Η (1) για $\displaystyle{x=0}$ γίνεται $\displaystyle{f(f(y))=y^n}$ (2).

Έστω ότι ο φυσικός $\displaystyle{n}$ είναι άρτιος, τότε

$\displaystyle{0>y_1>y_2 \Rightarrow f(f(y_1))>f(f(y_2)) \Rightarrow y_1^n>y_2^n \Rightarrow y_1<y_2}$ , άτοπο

(Έγινε χρήση της πρότασης:Αν η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{\Bbb{R}}$ , τότε η $\displaystyle{f \circ f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\Bbb{R}}$ )

Συνεπώς ο αριθμός $\displaystyle{n}$ είναι περιττός.

Η (2) για $\displaystyle{y \to f(y)}$ γίνεται $\displaystyle{f(y^n)=(f(y))^n}$

άρα η (1) $\displaystyle{y \to f(y)}$ δίνει $\displaystyle{f(x+y^n)=f(x)+f(y^n),\ \forall x,y \in \Bbb{R}}$ (3)

και επειδή κάθε πραγματικός αριθμός $\displaystyle{u}$ γράφεται με μοναδικό τρόπο ως $\displaystyle{y^n}$ η (3) γίνεται

$\displaystyle{f(x+u)=f(x)+f(u),\ \forall x,u \in \Bbb{R}}$ , άρα και λόγω της μονοτονίας $\displaystyle{f(x)=cx,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ , $\displaystyle{c \neq 0}$

Επαληθεύοντας την αρχική βρίσκουμε $\displaystyle{c=\pm1}$ και $\displaystyle{n=1}$

Εξάσκηση στην Cauchy !

Εξάσκηση στην Cauchy !

Re: Εξάσκηση στην Cauchy !

Μέλη σε σύνδεση