Κλασσική στο Q!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε $2f\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)=f\left(f\left(x+y\right)\right)+x+y,$ . για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=44&t=747&start=0

Mikesar · #2

Καλησπέρα. Μια ιδέα...
Όπου y=0, 2f(f(x)+f(0))=f(f(x))+x

απ'όπου εύκολα προκύπτει ότι η

είναι 1-1.
Όπου $x\rightarrow x+y,y\rightarrow0:$

$2f(f(x+y)+f(0))=f(f(x+y))+x+y\Leftrightarrow \\ 2f(f(x+y)+f(0))=2f(f(x)+f(y))\Leftrightarrow f(x+y)+c=f(x)+f(y)$
όπου c=f(0)

. Από την τελευταία προκύπτει ότι f(x)=ax+c

.
Με αντικατάσταση βλέπουμε ότι a=1

ή

και

, δηλαδή $\boxed{f(x)=x \ \forall x\in\mathbb{Q}}$ ή $\boxed{f(x)=-x \ \forall x\in\mathbb{Q}}$ .

#3

#4

Ας δούμε και το αδερφάκι:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $2 f\left(f\left(x\right) + f\left(y\right)\right) = f\left (f\left (x+y\right )\right) +x+y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

#5

socrates έγραψε:Ας δούμε και το αδερφάκι:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $2 f\left(f\left(x\right) + f\left(y\right)\right) = f\left (f\left (x+y\right )\right) +x+y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Επαναφορά!

#6

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $2 f\left(f\left(x\right) + f\left(y\right)\right) = f\left (f\left (x+y\right )\right) +x+y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κλασσική στο Q!

Κλασσική στο Q!

Re: Κλασσική στο Q!

Re: Κλασσική στο Q!

Re: Κλασσική στο Q!

Re: Κλασσική στο Q!

Re: Κλασσική στο Q!

Μέλη σε σύνδεση