Απλή, για εξάσκηση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+yf(z)+f(x))=xf(x)+zf(y)+x ,

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Andreas Dalaoutis · #2

Καταρχάς έστω (1)

η αρχική σχέση.

Από αυτή για x=y=z=0

έχουμε:

.

Επίσης από την (1)

για

θα πάρουμε:

$zf(0)=f(f(0))\Rightarrow f(0)=0$ .

Τώρα θέτουμε στην αρχική όπου

το

και λαμβάνουμε:

$f(yf(z)+f(0))=zf(y)\Rightarrow f(yf(z))=zf(y)$ (2)

.

Αν θέσουμε στη (2)

όπου

το

λαμβάνουμε ότι: f(1)=1

.

Τώρα θέτουμε πάλι στη (2)

που

το

και παίρνουμε ότι: f(f(z))=z

, οπότε η

είναι

.

Πάμε τώρα στη (2)

, η οποία για z=y=t

δίνει:

, η οποία λόγω της (3)

γίνεται: $f(tf(t))=tf(t)\Rightarrow f(tf(t))=f(t)f(f(t))$ , δηλαδή η

είναι πολλαπλασιαστική.

Βρίσκουμε επίσης ότι f(-1)=-1

οπότε συμπεραίνουμε επίσης ότι

περιττή.

Από την (4)

για

:

Επίσης αφού η

είναι πολλαπλασιαστική, ισχύει: f^2(x)=f(x^2)

$(5),(6)\Rightarrow \Rightarrow f^2(x)=x^2\Rightarrow f(x)=x, \forall x>0$ και λόγω της περιττής συμμετρίας $f\equiv x$ που επαληθεύει την αρχική.

* Ευχαριστώ πολύ το Θανάση για την πολύτιμη βοήθειά του

#3

Επαναφορά!

#4

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (1) για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Θανάση, δεν μου φάνηκε και...τόσο εύκολη

H (1) $\displaystyle{x=z=1 \wedge y=-1}$ : $\displaystyle{f(-1)=-1}$

H (1) $\displaystyle{x=0,y=-1}$ : $\displaystyle{f(-f(z))=-z}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1.

Η (1) $\displaystyle{x=0,z=1}$ : $\displaystyle{f(yf(1)+f(0))=f(y) \Rightarrow yf(1)+f(0)=y,\ \forall y \in \Bbb{R}}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(0)=0,f(1)=1}$

H (1) $\displaystyle{y=1, x=0}$ : $\displaystyle{f(f(z))=z,\ \forall z \in \Bbb{R}}$

H (1) $\displaystyle{z \to f(z), x=0}$ : $\displaystyle{f(yz)=f(y)f(z)}$

H (1) $\displaystyle{z=1,y=-x^2}$ :

$\displaystyle{x=f(f(x))=xf(x)+f(-x^2)+x \Rightarrow f(-x^2)=-xf(x)}$

$\displaystyle{-x^2=f(f(-x^2))=f(-xf(x))=f(-x)f(f(x)) \Rightarrow -x^2=f(-x)x \Rightarrow f(-x)=-x,\ \forall x \neq 0}$ , άρα

$\displaystyle{\boxed{f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}}$ (αληθεύει την αρχική).

Απλή, για εξάσκηση

Απλή, για εξάσκηση

Re: Απλή, για εξάσκηση

Re: Απλή, για εξάσκηση

Re: Απλή, για εξάσκηση

Μέλη σε σύνδεση