Εύκολη συναρτησιακή (3)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y))=yf(2x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Έστω

$\displaystyle{\boxed{f\left( {xf\left( y \right)} \right) = yf\left( {2x} \right)}}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)}$

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Θέτουμε $\displaystyle{x = y = 0}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)}$ , οπότε προκύπτει ότι:

$\boxed{f(0) = 0}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)}$ .

Επίσης, θέτουμε $\displaystyle{x = 1}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)}$ , οπότε προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\boxed{{f\left( {f\left( y \right)} \right) = y \cdot f\left( 2 \right)}}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)}$

για κάθε $\displaystyle{y \in \mathbb{R}.}$

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle{f\left( 2 \right) = 0}$ , τότε, θέτοντας $\displaystyle{y = 2}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)}$ και χρησιμοποιώντας την $\bf \color{red} \left( 1 \right)},$ προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( {2x} \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R},}$ οπότε

$\displaystyle{\boxed{f\left( {x} \right) = 0}}$ $\bf \color{red} \left( \clubsuit \right)}$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

$\bullet$ Έστω ότι $\displaystyle{f\left( 2 \right) \ne 0}.$ Τότε, από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)}$ προκύπτει ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι 1-1, άρα γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}.$ Θέτοντας $\displaystyle{y = 1}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = f\left( 2 \right)}$ και άρα

$\displaystyle{\boxed{f\left( 1 \right) = 2}}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)}$ .

Θέτοντας τώρα $\displaystyle{x = \frac{1}{2}}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)}$ και χρησιμοποιώντας την $\bf \color{red} \left( 3 \right)}$ βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{f\left( {\frac{1}{2}f\left( y \right)} \right) = 2y}}$ $\bf \color{red} \left( 4 \right)}$

για κάθε $\displaystyle{y \in \mathbb{R}.}$

Αν θέσουμε τώρα $\displaystyle{g: = \frac{1}{2}f}$ , τότε η σχέση $\bf \color{red} \left( 4 \right)}$ γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\boxed{g\left( {g\left( x \right)} \right) = x}}$ $\bf \color{red} \left( 5 \right)}$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Εφόσον η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα, από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 5 \right)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{g\left( x \right) = x}$ και άρα

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = 2x}}$ $\bf \color{red} \left( \spadesuit \right)}$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Εύκολα ελέγχουμε ότι οι συναρτήσεις $\bf \color{red} \left( \clubsuit \right)}$ και $\bf \color{red} \left( \spadesuit \right)}$ επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)}$ .

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=166410

Εύκολη συναρτησιακή (3)

Εύκολη συναρτησιακή (3)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (3)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (3)

Μέλη σε σύνδεση