ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

nikoszan · #1

Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης $f:R \to R$ για την οποία ισχύουν
$f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in R$ και
$f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}},\forall x \in R - \left\{ 0 \right\}$ .
Ν.Ζ.

#2

Από την πρώτη συνθήκη

Για y=0

παίρνουμε

.
Για

παίρνουμε

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ οπότε τελικά $f(x-y)=f(x)-f(y) \forall x,y\in\mathbb{R}$ .

Από τη δεύτερη συνθήκη

$f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=\dfrac{f(1-x)}{(1-x)^2}=\dfrac{f(1)-f(x)}{(1-x)^2}, \ \ \forall x\in\mathbb{R}-\{0,1\} \ \ (1)$ .

Από την άλλη
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{1-x}\right) &= f\left(1+\dfrac{x}{1-x}\right)=f(1)+f\left(\dfrac{x}{1-x}\right) \\ &= f(1)+\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^2f\left(\dfrac{1-x}{x}\right) \\ &= f(1)+\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^2\left[f\left(\dfrac{1}{x}\right)-f(1)\right] \\ &= f(1)+\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^2\left(\dfrac{1}{x^2}f(x)-f(1)\right) \\ &= f(1)+\dfrac{f(x)}{(1-x)^2}-\dfrac{f(1)x^2}{(1-x)^2} \\ &= \dfrac{f(1)-2xf(1) + f(x)}{(1-x)^2}, \ \ \forall x\in\mathbb{R} \ \ (2)\end{aligned}$

Συνδυάζοντας τις $(1), \ (2)$ παίρνουμε τελικά ότι $\dfrac{f(1)-f(x)}{(1-x)^2}=\dfrac{f(1)-2xf(1) + f(x)}{(1-x)^2} \Longleftrightarrow f(x)=f(1)x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}-\{0,1\}$ και επειδή f(0)=0

άρα τελικά $f(x)=f(1)x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}$ συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

Αλέξανδρος

#3

Ουσιαστικά είναι η

viewtopic.php?f=111&t=3460&start=40#p45524

ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Re: ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Re: ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ

Μέλη σε σύνδεση