Ασκήσεις
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
Ασκήσεις
Μερικές ασκήσεις απο τους διαγωνισμούς ELMO και USAMO
1) Βρείτε τον μικρότερο πραγματικό αριθμό με την εξής ιδιότητα:
Έχοντας εννιά μη αρνητικούς αριθμούς με άθροισμα , είναι πιθανό να τους τοποθετήσουμε σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε το γινόμενο της κάθε στήλης ή σειράς να είναι το πολύ.
2) Ένας κύκλος , που δεν τέμνει καμιά κορυφή του τριγώνου , τέμνει τις πλευρές του σε δύο διαφορετικά σημεία.
Αποδείξτε ότι ο εγγεγραμένος κύκλος του βρίσκεται μέσα στον κύκλο .
3)Αποδείξτε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε ακέραιο αριθμό
4) Σε ένα εξάγωνο το οποίο είναι μη κυρτό και καμιά πλευρά του δεν τέμνεται με κάποια άλλη πλευρά του, δεν υπάρχουν ζευγη πλευρών του που να είναι παράλληλα.
Στις εσωτερικές γωνίες ισχύει οτι η είναι τριπλάσια από την , η τριπλάσια απο την και η τριπλάσια απο την Επιπλέον . Αποδείξτε οτι οι διαγώνιοι συντρέχουν.
1) Βρείτε τον μικρότερο πραγματικό αριθμό με την εξής ιδιότητα:
Έχοντας εννιά μη αρνητικούς αριθμούς με άθροισμα , είναι πιθανό να τους τοποθετήσουμε σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε το γινόμενο της κάθε στήλης ή σειράς να είναι το πολύ.
2) Ένας κύκλος , που δεν τέμνει καμιά κορυφή του τριγώνου , τέμνει τις πλευρές του σε δύο διαφορετικά σημεία.
Αποδείξτε ότι ο εγγεγραμένος κύκλος του βρίσκεται μέσα στον κύκλο .
3)Αποδείξτε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε ακέραιο αριθμό
4) Σε ένα εξάγωνο το οποίο είναι μη κυρτό και καμιά πλευρά του δεν τέμνεται με κάποια άλλη πλευρά του, δεν υπάρχουν ζευγη πλευρών του που να είναι παράλληλα.
Στις εσωτερικές γωνίες ισχύει οτι η είναι τριπλάσια από την , η τριπλάσια απο την και η τριπλάσια απο την Επιπλέον . Αποδείξτε οτι οι διαγώνιοι συντρέχουν.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Αύγ 11, 2012 9:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: τονισμός λέξεων,διόρθωση κώδικα LaTeX
Λόγος: τονισμός λέξεων,διόρθωση κώδικα LaTeX
Re: Ασκήσεις
Το 3 είναι ωραίο:
Εύκολα η ποσότητα αυτή είναι περιττή ενώ είναι αρνητική για ακέραιους . Έστω πως μπορεί να ισούτε με για κάποιο φυσικό , τότε:
. Εύκολα η ποσότητα αυτή τώρα, διαιρείτε με αλλά όχι με , και αυτό μπορεί να γίνει μόνο αν , οπότε ισχύει:
Επειδή , ένας από αυτούς τους 3 αριθμούς αφίνει υπόλοιπο με το , άρα έχει πρώτο διαιρέτη και ισχύει έτσι:
, με τους να μη διαιρούνται με διότι εύκολα και
(γιατί;). Άρα η τάξη του είναι και άρα από θεώρημα Lagrange , άτοπο διότι .
Άρα η ποσότητα αυτή δεν είναι ποτέ τετράγωνο.
Εύκολα η ποσότητα αυτή είναι περιττή ενώ είναι αρνητική για ακέραιους . Έστω πως μπορεί να ισούτε με για κάποιο φυσικό , τότε:
. Εύκολα η ποσότητα αυτή τώρα, διαιρείτε με αλλά όχι με , και αυτό μπορεί να γίνει μόνο αν , οπότε ισχύει:
Επειδή , ένας από αυτούς τους 3 αριθμούς αφίνει υπόλοιπο με το , άρα έχει πρώτο διαιρέτη και ισχύει έτσι:
, με τους να μη διαιρούνται με διότι εύκολα και
(γιατί;). Άρα η τάξη του είναι και άρα από θεώρημα Lagrange , άτοπο διότι .
Άρα η ποσότητα αυτή δεν είναι ποτέ τετράγωνο.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Ασκήσεις
Επαναφορα......Ενδιαφέρον πολύ θα είχε μια λύση για τις δύο γεωμετρίες (το 2 και το 4).
Re: Ασκήσεις
Υπάρχει πόβλημα και στο 2 και στο 4 (για το 2 βλέπε σχήμα).petros r έγραψε:Επαναφορα......Ενδιαφέρον πολύ θα είχε μια λύση για τις δύο γεωμετρίες (το 2 και το 4).
- Συνημμένα
-
- 2.png (49.77 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Ασκήσεις
Ζητώ συγγνώμη απο το forum για την 2 τώρα είδα το λάθος στην εκφώνηση . Το έκκεντρο είναι η σωστή διατύπωση και όχι ο εγγεγραμενος κύκλος. Τώρα η 2 γίνεται ενδιαφέρουσα , αλλά η 4 δεν έχει σφάλμα! Μάλιστα υπάρχει λύση της αλλά επειδή, είναι ενδιαφέρουσα άσκηση γεωμετρίας σίγουρα υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες