Εύκολη συναρτησιακή (13)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xyz) = xf(x) + yf(y) + zf(z)

για κάθε $x,y,z \in (0,1).$

#2

Επαναφορά!

chris · #3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y,z \in (0,1).$

$\boxed{f(xyz)=xf(x)+yf(y)+zf(z), \forall x,y,z \in (0,1)}:(1)$

H (1)

για $\displaystyle y,z \rightarrow \frac{1}{2}$ δίνει: $\displaystyle \boxed{f\left(\frac{x}{4} \right)=xf(x)+f\left(\frac{1}{2} \right),\forall x \in (0,1) }:(2)$
H (1)

για $\displaystyle y,z \rightarrow \frac{1}{2} , x \rightarrow \frac{x}{4}$ δίνει:
$\displaystyle f\left(\frac{x}{16} \right)=\frac{x}{4}f\left(\frac{x}{4} \right)+f\left(\frac{1}{2} \right)\stackrel{(2)}=\frac{x^2}{4}f(x)+\frac{x+4}{4}\cdot f\left(\frac{1}{2} \right)\Rightarrow$
$\displaystyle \boxed{f\left(\frac{x}{16} \right)=\frac{x^2}{4}f(x)+\frac{x+4}{4}\cdot f\left(\frac{1}{2} \right),\forall x \in (0,1) }:(3)$

H (1)

για $\displaystyle y \rightarrow \frac{1}{8} ,z \rightarrow \frac{1}{2}$ δίνει:
$\displaystyle f\left(\frac{x}{16} \right)=xf(x)+\frac{1}{8}f\left(\frac{1}{8} \right)+\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2} \right)\stackrel{(3)}\Rightarrow \frac{x^2}{4}f(x)-xf(x)=\frac{1}{8}f\left(\frac{1}{8} \right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{x+4}{4} \right)f\left(\frac{1}{2} \right) \Rightarrow \boxed{f(x)=\frac{x-2}{x(x-4)}f\left(\frac{1}{2} \right) +\frac{1}{2x(x-4)}f\left(\frac{1}{8} \right),x \in (0,1)}$

H (2)

για $\displaystyle x \rightarrow \frac{1}{2}$ δίνει: $\displaystyle f\left(\frac{1}{8} \right)=\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{2} \right)$ και άρα τελικά η

γίνεται:
$\displaystyle f(x)=f\left(\frac{1}{2} \right)\frac{4x-5}{4x(x-4)} ,x \in (0,1)$ και αντικαθιστώντας στην (2)

εύκολα $\displaystyle f\left(\frac{1}{2} \right)=0$ .

Άρα $\displaystyle {\color{red}\boxed{f(x)=0 , x \in (0,1)} }$ είναι η μοναδική λύση που επαληθεύει.

#4

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=371941

Εύκολη συναρτησιακή (13)

Εύκολη συναρτησιακή (13)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (13)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (13)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (13)

Μέλη σε σύνδεση