Εύκολη συναρτησιακή (14)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy,~~{\color{blue}\bf(1)} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$\displaystyle{x=y=0,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(f(0))=f(0)+f^2(0)}$

$\displaystyle{y:=-x,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(f(0))=f(0)+f(x)f(-x)+x^2}$

άρα $\displaystyle{f(x)f(-x)+x^2=f^2(0)}$

έστω f(0)=a

τότε $\displaystyle{f(a)=a+a^2}$ και $\displaystyle{f(x)f(-x)+x^2=a^2,~~{\color{blue}\bf(2)}}$

$\displaystyle{y=0,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(f(x))=f(x)+af(x),~~{\color{blue}\bf(3)}}$

$\displaystyle{x=a,~~{\color{blue}\bf(2)}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Big(f(a)=0\Rightarrow a=0~~\vee ~~ a=-1\Big) \quad \vee \quad\Big( f(-a)=0\stackrel{x:=-a,{\color{blue}\bf(3)}}\Longrightarrow}a=0\Big)}$

Αν $\displaystyle{a=0\Rightarrow f(f(x))=f(x), / f(x)f(y)=xy /,\rightarrow f(x)=x,x\in \mathbb R}$ ικανοποιεί

Αν $\displaystyle{a=-1\Rightarrow f(f(x))=0\stackrel{x:=f(x)}\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow a=0}$ άτοπο

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=416632

Εύκολη συναρτησιακή (14)

Εύκολη συναρτησιακή (14)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (14)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (14)

Μέλη σε σύνδεση