Εύκολη συναρτησιακή (17)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)+f(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^*.$

#2

$\displaystyle{y=\frac{1}{x}\Rightarrow f(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}}$

Βάζω τώρα στη θέση του

to $\displaystyle{\frac{y+\sqrt{y^2 -4}}{2}}$ , με $\displaystyle{y\geq 2,}$ , ή $\displaystyle{y\leq 2}$

Άρα $\displaystyle{f(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\Rightarrow f(y)=\frac{1}{2}}$

Δηλαδή, $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\geq 2}$ , ή $\displaystyle{x\leq 2}$

Na δούμε τώρα τι γίνεται όταν $\displaystyle{yE(-2 , 2)}$

Στην περίπτωση αυτή, βάζω στη θέση του

, to $\displaystyle{\frac{2+\sqrt{4-y^2}}{2}}$ . Άρα

$\displaystyle{f(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\Rightarrow f(\frac{4}{y})=\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle{y\neq 0}$ . Σε αυτή την ισότητα, βάζω όπου

, to $\displaystyle{\frac{4}{x}}$ .

Άρα $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}}$ , για κάθε $\displaystyle{xE(-2 ,0)U(0,2)}$

Μας μένει να δούμε πόσο ισούται το $\displaystyle{f(0)}$ .

Βάζω στην αρχική εξίσωση, $\displaystyle{x=y=-1}$ . Tότε $\displaystyle{f(0)=\frac{1}{2}}$

Άρα, για όλα τα xER

, είναι $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}}$ .

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=368502

Εύκολη συναρτησιακή (17)

Εύκολη συναρτησιακή (17)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (17)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (17)

Μέλη σε σύνδεση