Εύκολη συναρτησιακή (22)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^{2}+y)=f(f(x))+\frac{f(xy)}{f(x)} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^*.$

Παναγιώτης 1729 · #2

Ονομάζω (1) την αρχική. Για y=1

αυτή δίνει f(x^2+1)=f(f(x))+1

. Από εδώ βλέπουμε ότι f(f(x))=f(f(-x))

(2). Για

το

η (1) δίνει $\displaystyle f(x^2+y)=f(f(x))+\frac{f(-xy)}{f(-x)}$ (3). Με αφαίρεση κατά μέλη των (1) και (3) παίρνω: $\displaystyle \frac{f(xy)}{f(x)}=\frac{f(-xy)}{f(-x)}$ . Για

το $\displaystyle \frac{y}{x}$ παίρνω από την τελευταία $\displaystyle \frac{f(-x)}{f(x)}=\frac{f(-y)}{f(y)}$ . Άρα, η $\displaystyle \frac{f(-x)}{f(x)}$ είναι σταθερή, έστω ίση με

.
Τότε:

. Για

το

αυτή δίνει f(x)=cf(-x)=c^2f(x)

. Άρα, $c\in\{1,-1\}$ .

Για c=-1

, θέτω

το

στην (1) και παίρνω: $\displaystyle f(x^2+y)=f(f(-x))+\frac{f(-xy)}{f(-x)}=f(-f(x))+\frac{f(xy)}{f(x)}=-f(f(x))+\frac{f(xy)}{f(x)}$ . Η (1) σε συνδυασμό με την τελευταία δίνει f(f(x))=0

, άτοπο.

Για c=1

, θέτω

το

στην (1) και παίρνω f(x^2-y)=f(x^2+y)

, άρα

, αν $x+y\geq{0}$ . Έστω $a+b<0\Leftrightarrow{(-a)+(-b)>0}\Leftrightarrow{f(-a)=f(-b)}\Leftrightarrow{f(a)=f(b)}$ . Τελικά, f(x)=f(y)

για όλους τους πραγματικούς x,y

. Άρα, η

είναι σταθερή, οπότε από την (1) καταλήγουμε προφανώς σε άτοπο.

#3

Πιο απλά:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=301766

Παναγιώτης 1729 · #4

Ευχαριστώ τον χρήστη freyia για την παρατήρηση ενός τυπογραφικού. Η λύση του pco στο τρίτο post είναι πολύ απλή και μάλλον και η πιο λογική.

Δεν το πρόσεξα και αναγκάστηκα να κάνω κάτι πολύ πιο σύνθετο.

Εύκολη συναρτησιακή (22)

Εύκολη συναρτησιακή (22)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (22)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (22)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (22)

Μέλη σε σύνδεση