Εύκολη συναρτησιακή (23)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y+f(y))=f(x)+2y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

chris · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y+f(y))=f(x)+2y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

$\displaystyle \boxed{f(x+y+f(y))=f(x)+2y, \forall x,y \in \mathbb{Z}}: (1)$

$\bullet$ Αποδεικνύουμε ότι η είναι και βρίσκουμε το
H (1)

για $x \rightarrow -f(y)$ δίνει : f(y)=f(-f(y))+2y

και άρα $\boxed{f(x)=f(-f(x))+2x,\forall x \in \mathbb{Z}}: (2)$
Από τη (2)

άμεσα προκύπτει ότι η

είναι

.

H

για $x,y \rightarrow 0$ δίνει : $f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$

$\bullet$ Αποδεικνύουμε ότι η είναι προσθετική.

H (1)

για $x \rightarrow 0$ δίνει : f(y+f(y))=2y

και άρα $\boxed{f(x+f(x))=2x , \forall x \in \mathbb{Z}}:(3)$

H (1)

για $x \rightarrow x+f(x)$ δίνει :
$\displaystyle f\left[\left(f(x)+x \right)+\left(f(y)+y \right) \right]=f(x+f(x))+2y=2x+2y=2\left(x+y \right)\stackrel{(3)}=f\left[x+y+f\left(x+y \right) \right]\stackrel{f \; "1-1"}\Rightarrow f(x)+x+f(y)+y=x+y+f(x+y)\Rightarrow$
$\boxed{f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{Z} }:(4)$

$\bullet$ Βρίσκουμε την .
Είναι γνωστό πλέον πως:
f(nx)=nf(x)

και άρα $f(x)=f(1)x,\forall x \in \mathbb{Z}$ και αντικαθιστώντας στην (3)

βρίσκουμε

ή

.

Τελικά ${\color{red} \boxed{f(x)=x ,x \in \mathbb{Z}} }$ και ${\color{red}\boxed{f(x)=-2x , x \in \mathbb{Z}}} }$ είναι οι δεκτές λύσεις.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=356042
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=43656
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5#p2675905
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=69098
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=301010

Εύκολη συναρτησιακή (23)

Εύκολη συναρτησιακή (23)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (23)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (23)

Μέλη σε σύνδεση