Εύκολη συναρτησιακή (24)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)^{3}+f(y)^{3}+f(z)^{3}\\ =3f(xyz)+\frac{1}{2}(f(x-y)^{2}+f(y-z)^{2}+f(z-x)^{2}) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)^{3}+f(y)^{3}+f(z)^{3}\\ =3f(xyz)+\frac{1}{2}(f(x-y)^{2}+f(y-z)^{2}+f(z-x)^{2}) ,}$ (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Η (1) για $\displaystyle{x=y=z=0}$ δίνει $\displaystyle{f(0)=0}$

Η (1) για $\displaystyle{y=z=0}$ δίνει $\displaystyle{f^3(x)=\frac {1}{2}f^2(x)+\frac {1}{2}f^2(-x)}$ (2)

Η (2) για $\displaystyle{x=-x}$ δίνει $\displaystyle{f^3(-x)=\frac {1}{2}f^2(x)+\frac {1}{2}f^2(-x)}$ (3)

Από (2) και (3) βρίσκουμε $\displaystyle{f^3(x)=f^3(-x) \Rightarrow f(-x)=f(x),\ \forall x \in \Bbb{R}}$

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια. Συνεπώς η (2) γράφεται $\displaystyle{f^3(x)=f^2(x) \Rightarrow f(x)=0 \vee f(x)=1}$

Αν υπάρχουν δύο πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ ώστε $\displaystyle{f(x)=f(y)=1}$ , τότε η (1) για $\displaystyle{z=0}$ δίνει

$\displaystyle{f^2(x)+f^2(y)=f^2(x-y) \Rightarrow f(x-y)= \sqrt{2}}$ , άτοπο.

Άρα για ένα το πολύ $\displaystyle{x}$ μπορεί να έχουμε $\displaystyle{f(x)=1}$ και εφ' όσον $\displaystyle{f(-x)=f(x)}$ , το παραπάνω $\displaystyle{x}$

θα πρέπει αν είναι το $\displaystyle{0}$ , το οποίο είναι αδύνατο γιατί $\displaystyle{f(0)=0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ , που επαληθεύει την εξίσωση.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=434836

Εύκολη συναρτησιακή (24)

Εύκολη συναρτησιακή (24)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (24)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (24)

Μέλη σε σύνδεση