Εύκολη συναρτησιακή (25)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^{2})+2xf(y)+f(y)^{2}=(f(x)+y)^{2} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Andreas Dalaoutis · #2

Στην αρχική θέτουμε x=y=0

και παίρνουμε ότι: f(0)=0

Πάλι στην αρχική για y=0

λαμβάνουμε: $f(x^2)=f^2(x) \qquad (2)$

Επίσης η δοσμένη για x=0

δίνει: $f^2(x)=x^2 \qquad (3)$

Πλέον η αρχική λόγω των (2), (3)

θα γίνει:

$f^2(x)+2xf(y)+y^2=(f(x)+y)^2\Leftrightarrow 2xf(y)=2yf(x) \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}\Rightarrow f(x)=cx$

Με αντικατάσταση προκύπτει ότι c=1

, δηλαδή:

$f(x)=x , \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

* Μετά από παρέμβαση του Θανάση, τον οποίο ευχαριστώ.

#3

Εύκολη συναρτησιακή (25)

Εύκολη συναρτησιακή (25)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (25)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (25)

Μέλη σε σύνδεση