Εύκολη συναρτησιακή (30)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+^2 \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(x,y)f(y,\frac{1}{x})=yf(y,x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+^2 \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε
$\displaystyle{ xf(x,y)f(y,\frac{1}{x})=yf(y,x) ,{\color{blue}\bf(1)},}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

$\bullet ~\displaystyle{(y,x),{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow yf(y,x)f(x,\dfrac{1}{y})=xf(x,y),{\color{blue}\bf(2)}$

$\bullet ~{\color{blue}\bf(1),(2)}\Rightarrow f(x,\dfrac{1}{y})f(y,\dfrac{1}{x})=1\stackrel{x : \frac{1}{x}}\Rightarrow$ $f(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y})f(y,x)=1$

$\bullet ~ (\dfrac{1}{x},y),{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(\dfrac{1}{x},y)f(y,x)=xyf(y,\dfrac{1}{x})\stackrel{\cdot f(x,y)}\Rightarrow$

$f(\dfrac{1}{x},y)f(x,y)=y^2$

από τις προηγούμενες έχουμε ισοδύναμες σχέσεις:
===========================================
$f(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y})f(x,\dfrac{1}{y})=\dfrac{1}{y^2},~~ f(y,x)f(\dfrac{1}{y},x)=x^2,{\color{blue}\bf(a)}$

$f(\dfrac{1}{x},y)f(x,y)=y^2,{\color{blue}\bf(b)} ~~, f(y,\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x^2}f(x,y)$
=============================================
$\bullet ~ {\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow xf(x,y)\dfrac{1}{x^2}f(x,y)=yf(y,x)\Rightarrow f^2(x,y)=xyf(y,x),{\color{blue}\bf(c)}$

$\bullet ~ {\color{blue}\bf(a)\cdot (b)}\Rightarrow f(y,x)f(\dfrac{1}{y},x)f(\dfrac{1}{x},y)f(x,y)=x^2y^2\Rightarrow f(y,x)f(x,y)=x^2y^2,{\color{blue}\bf(d)}$

$\bullet ~ \displaystyle{{\color{blue}\bf(c)\cdot (d)}\Rightarrow f^3(x,y)=x^3y^3\Rightarrow f(x,y)=xy}$ ικανοποιεί

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=454701

Εύκολη συναρτησιακή (30)

Εύκολη συναρτησιακή (30)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (30)

Re: Εύκολη συναρτησιακή (30)

Μέλη σε σύνδεση