Από διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε....

S.E.Louridas · #1

Από διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε. μας (δηλαδή των μελών της) για τα Πρακτικά τμήματα, τότε (14- 5- 1967):

Να αποδειχθεί ότι ο μέσος αριθμητικός των

ποσοτήτων
$\displaystale{a^{x_i } \;\left( {i = 1,2,...,n} \right)}$
εκφράζεται δια της $\displaystale{\left( {n + 1} \right)}$ τάξης ποσότητας (δηλαδή της $\displaystale{a^{x_{n + 1} }}$ ), όταν τα $\displaystale{x_i}$ συνδέονται δια της σχέσεως:

$\displaystale{x_n - x_{n - 1} = \dfrac{{\lambda o\gamma \frac{n} {{n - 1}}}} {{\lambda o\gamma a}},\quad x_1 = \dfrac{{\lambda o\gamma \left( {\lambda o\gamma a} \right)}} {{\lambda o\gamma a}}\quad \left( {a > 1} \right).}$

#2

Από τον τύπο αλλαγής βάσης έχουμε ότι:

$\displaystyle{{x_1} = {\log _a}\left( {\log a} \right) \Rightarrow {a^{{x_1}}} = \log a}$

και, για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{k \ge 2,}$

$\displaystyle{{x_k} - {x_{k - 1}} = {\log _a}\left( {\frac{k}{{k - 1}}} \right) \Rightarrow {a^{{x_k} - {x_{k - 1}}}} = \frac{k}{{k - 1}}}$

και άρα

$\displaystyle{{a^{{x_k}}} = {a^{{x_1}}}{a^{{x_2} - {x_1}}}{a^{{x_3} - {x_2}}} \cdots {a^{{x_k} - {x_{k - 1}}}} = \log a \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdots \frac{k}{{k - 1}} = k\log a.}$

Επομένως,

$\displaystyle{\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{a^{{x_k}}} = } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {k\log a = \frac{1}{n} \cdot \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\log a = \frac{1}{2}{a^{{x_{n + 1}}}} } .}$

Από διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε....

Από διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε....

Re: Από διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε....

Μέλη σε σύνδεση