Θέλει φαντασία...

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}=y\\ \\ \frac{2y^{2}}{1+y^{2}}=z\\ \\ \frac{2z^{2}}{1+z^{2}}=x \end{matrix}\right.$

#2

καλημέρα Δημήτρη
για να δούμε πόση φαντασία υπάρχει...

$\Sigma:\left\{\begin{matrix} \dfrac{2x^{2}}{1+x^{2}}=y\\ \\ \dfrac{2y^{2}}{1+y^{2}}=z\\ \\ \dfrac{2z^{2}}{1+z^{2}}=x \end{matrix}\right.$
===========================================================
φανερά η (x,y,z)=(0,0,0)

είναι λύση του συστήματος.

εκτός απ'αυτή
είναι x,y,z >0

έστω $x=\tan a,y=\tan b,z=\tan c$

το σύστημα γίνεται: $\Sigma:\left\{\begin{matrix} 2 \sin^2 a=\tan b\\ 2 \sin^2 b=\tan c\\ 2 \sin^2 c=\tan a \end{matrix}\right.$ δηλαδή $\Sigma:\left\{\begin{matrix} 2 \sin^2 a \cos b=\sin b\\ 2 \sin^2 b \cos c=\sin c\\ 2 \sin^2 c \cos a=\sin a \end{matrix}\right.$

πολλαπλασιάζοντας αυτές κατά μέλη παίρνουμε: $\sin(2a)\sin(2b)\sin(2c)=1$

άρα $\sin(2a)=\sin(2b)=\sin(2c)=1$ (αφού x,y,z>0

)

επομένως $2a=2k\pi+\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow a=k\pi+\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow x=1$

όμοια για τα b,c

...

τελικά (x,y,z)=(1,1,1)

ικανοποιεί το (Σ)

#3

Καλημέρα.

Μία ακόμη σκέψη.

Εύκολα συμπεραίνουμε πως: $x,y,z \ge 0.$

Όταν $y=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow z=0$ , δεκτή ως λύση αφού επαληθεύει ενώ όταν $y \ne 0 \Rightarrow x \ne 0 \Rightarrow z \ne 0.$

Όταν λοιπόν $y \ne 0$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{y}{x} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \le 1 \Rightarrow y \le x}$

και με όμοιο τρόπο, προκύπτει: $x \le z, z \le x.$

Επομένως, εύκολα μπορούμε να καταλήξουμε πως:

x=y=z

.

Τότε, αντικαθιστώντας σε μία από τις αρχικές, προκύπτει:

x=y=z=1

λύση δεκτή αφού επαληθεύει.

Τελικά x=y=z=0

ή

#4

με λίγη φαντασία ακόμα (και τους περιορισμούς που είχαμε )

$1+x^2\geq 2x\iff \dfrac{1}{1+x^2}\leq \dfrac{1}{2x}\iff \dfrac{2x^2}{1+x^2}\leq \dfrac{2x^2}{2x}\iff y\leq x$

όμοια για τ'άλλα παίρνουμε $z\leq y,~~ x\leq z$

δηλαδή $x\leq z\leq y\leq x\Rightarrow x=y=z$

(x,y,z)=(0,0,0),(1,1,1)

=================
βλέπω είναι σαν του Χρήστου (καλημέρα Χρήστο)

#5

maths-!!! έγραψε:Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}=y\\ \\ \frac{2y^{2}}{1+y^{2}}=z\\ \\ \frac{2z^{2}}{1+z^{2}}=x \end{matrix}\right.$

Ας προσθέσω ότι η άσκηση αυτή εντάσσεται σε μία γενικότερη κατηγορία, εκείνη των συστημάτων

$\left\{\begin{matrix} f(x)=y\\ \\ f(y)=z\\ \\ f(z)=x \end{matrix}\right.$

όπου $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ μία δεδομένη γνήσια αύξουσα συνάρτηση. Υπόψη ότι η παραπάνω $\displaystyle{\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}= 2 - \frac{2}{1+x^{2}}}$ είναι γνήσια αύξουσα.

Στο φόρουμ έχουμε δει πολλά συστήματα που, τελικά, εντάσσονται στο παραπάνω. Λύνονται ως εξής:

Εύκολα διαπιστώνουμε από το σύστημα ότι ισχύει $f(f(f(x))) = f(f(y)) = f(z)=x \, (*)$ . Τώρα βλέπουμε ότι ισχύει και f(x)=x

γιατί αν π.χ. f(x)>x

θα είχαμε διαδοχικά f(f(x)) > f(x)

άρα

, που αντιβαίνει στην (*)

. Όμοια δεν γίνεται f(x) <x

. Ειδικά έχουμε (από τις αρχικές εξισώσεις) x=f(x) = y = f(y) =z

.

Τα υπόλοιπα είναι εύκολα, αφού αναχθήκαμε στην f(x)=x

την οποία λύνουμε. Π.χ. στο παραπάνω παράδειγμα είναι $\displaystyle{\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}=x}$ από όπου εύκολα x=0

ή

και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

sokratis lyras · #6

maths-!!! έγραψε:Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}=y\\ \\ \frac{2y^{2}}{1+y^{2}}=z\\ \\ \frac{2z^{2}}{1+z^{2}}=x \end{matrix}\right.$

Κάπως πιο απλά:
Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις και παίρνουμε (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=8xyz

και λόγω της $x^2+1\ge 2x$ παίρνουμε την ισότητα των x,y,z

.

Δημήτρης Μυρογιάννης · #7

Σας ευχαριστώ όλους.

Διαπιστώνουμε την προφανή λύση (0,0,0)

, οπότε για $x,y,z \neq 0$ μπορούμε να θέσουμε $x=\frac{1}{k},y=\frac{1}{m},z=\frac{1}{n} .$
Τότε το σύστημα, μετά από πράξεις, γίνεται:
$\left\{\begin{matrix} 2m=k^{2}+1 \\ \\ 2n=m^{2}+1 \\ \\ 2k=n^{2}+1 \end{matrix}\right. \;\; \Rightarrow \;\; \left\{\begin{matrix} 2(m-k)=(k-1)^{2} \\ \\ 2(n-m)=(m-1)^{2} \\ \\ 2(k-n)=(n-1)^{2} \end{matrix}\right.$
Προσθέτοντας κατά μελή τις προηγούμενες:
$(k-1)^{2}+(m-1)^{2}+(n-1)^{2}=0 \Rightarrow k=1 \;\; \wedge \;\; m=1 \;\; \wedge \;\; n=1 .$
Είναι πλέον προφανές ότι $x=1 \;\; \wedge \;\; y=1 \;\; \wedge \;\; z=1 .$

parmenides51 · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Ας προσθέσω ότι η άσκηση αυτή εντάσσεται σε μία γενικότερη κατηγορία, εκείνη των συστημάτων

$\left\{\begin{matrix} f(x)=y\\ \\ f(y)=z\\ \\ f(z)=x \end{matrix}\right.$

όπου $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ μία δεδομένη γνήσια αύξουσα συνάρτηση.

Στο φόρουμ έχουμε δει πολλά συστήματα που, τελικά, εντάσσονται στο παραπάνω. Λύνονται ως εξής:

Εύκολα διαπιστώνουμε από το σύστημα ότι ισχύει $f(f(f(x))) = f(f(y)) = f(z)=x \, (*)$ . Τώρα βλέπουμε ότι ισχύει και γιατί αν π.χ. θα είχαμε διαδοχικά άρα , που αντιβαίνει στην . Όμοια δεν γίνεται . Ειδικά έχουμε (από τις αρχικές εξισώσεις) .

Τα υπόλοιπα είναι εύκολα, αφού αναχθήκαμε στην την οποία λύνουμε.

πχ. 01, 02, 03, 04, 05, 06

Θέλει φαντασία...

Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Re: Θέλει φαντασία...

Μέλη σε σύνδεση