Συναρτησιακή με θεωρητικές προεκτάσεις

S.E.Louridas · #1

-Εμπνευσμένη από εργασία του Wu Wei Chao (Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας- στο περιοδικό Monthly108)

-Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\mu \varepsilon \,\tau \eta \nu \,\iota \delta \iota o\tau \eta \tau \alpha \;f\left( {x^4 + y + f\left( y \right)} \right) = 4y + \left[ {f\left( x \right)} \right]^4 ,\forall x,y \in \mathbb{R}.$

S.E.Louridas

Ilias_Zad · #2

Δυσκολο αλλα ωραιο θεμα Κυριε Λουριδα...
Αρχικα εχουμε οτι f^4(x)=f(x^4+f(0))

απο οπου

Υστερα παρατηρουμε οτι το RHS της αρχικης μας σχεσης ειναι συναρτηση επι στο R αρα και η f.
θεωρουμε λοιπον το x_0

ωστε

Τοτε ισχυει f(x^4+x_0)=4x_0+f(x^4)

αλλα και

. Oμως αν στις παραπανω θεσουμε x=0

παιρνουμε

(και μαλιστα με ισοδυναμια αλλα δεν μας χρειαζεται τελικως)

Eπισης απο την (1) με το f(0)=0

παιρνουμε και f(1)=1

.

Ομως τωρα αμα θεσουμε στην αρχικη y=1

εχουμε οτι ισχυει
f(x^4+2)=f(x^4)+4 => f(x+2)=f(x)+4

(2) για καθε x στο R+
απο οπου εχουμε ευκολα f(2)=4

(3)
αλλα και $f^4(2)=f(2^4)=f(16)=f(2)+4*7=8f(2) \leftrightarrow f(2)=2$ δηλαδη αντιφαση...

(αν θελουμε να παμε αλλιως στο ατοπο(καθως η επιλογη τιμων δεν ειναι και ο πιο κομψος τροπος) αρκει να δουμε οτι απο (2),(3)επεται οτι f(n)=2n

για καθε

αρτιο φυσικο και ισοδυναμα $f(n^4)=2n^4 \leftrightarrow f^4(n)=2n^4 \leftrightarrow 16n^4=2n^4 \leftrightarrow n=0$ κατι προφανες ατοπο..

)

ΥΓ Ποιες ειναι οι θεωρητικες προεκτασεις που αναφερετε;

S.E.Louridas · #3

Γενικότερη θεωρητική μελέτη εμπνευσμένη από εργασία του μεγάλου εν ζωή Ούγγρου μαθηματικού Peter Dalyay στο θέμα:
‘Υπολογίστε τις συναρτήσεις
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},f\left( {x^2 + y + f\left( y \right)} \right) = \left[ {f\left( x \right)} \right]^2 + 2y,\forall x,y \in \mathbb{R}......\left( 1 \right)$ ’.
Γενίκευση :
-Θεωρούμε τους
$a,b \in \mathbb{R}^ *$ και την ύπαρξη μίας άρτιας συνάρτησης
$h:\mathbb{R} \to \left[ {0, + \infty } \right)\,\mu \varepsilon \,h\left( 0 \right) = 0\,\kappa \alpha \iota \,h\left( \mathbb{R} \right) = \left[ {0, + \infty } \right)$
και με τον περιορισμό της στο διάστημα
$\left[ {0, + \infty } \right)\;\nu \alpha \;\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \;\sigma \upsilon \nu \alpha \rho \tau \eta \sigma \eta \;1 - 1.$ Υπολογίστε τις συναρτήσεις :
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\tau \varepsilon \tau o\iota \varepsilon \varsigma \,\pi o\upsilon \,f\left( {h\left( x \right) + y + f\left( y \right)} \right) = a \cdot h\left( {f\left( x \right)} \right) + b \cdot y,\forall x,y \in \mathbb{R}.....\left( 2 \right).$
Διαπραγμάτευση:
Έχουμε ότι:
$h\left( x \right) = h\left( y \right) \Leftrightarrow h\left( {\left| x \right|} \right) = h\left( {\left| y \right|} \right) \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right|..\left( 3 \right),\alpha \varphi o\upsilon \,h\,\alpha \rho \tau \iota \alpha \,\sigma \tau o\mathbb{R}\kappa \alpha \iota 1 - 1\,\sigma \tau o\left[ {0, + \infty } \right).$
$\Gamma \iota \alpha \,y = 0 \Rightarrow f\left( {h\left( x \right) + f\left( 0 \right)} \right) = ah\left( {f\left( x \right)} \right),\forall x \in \mathbb{R}.....\left( 4 \right),$
$\gamma \iota \alpha x = 0 \Rightarrow f\left( {y + f\left( y \right)} \right) = ah\left( {f\left( 0 \right)} \right) + by,\forall y \in \mathbb{R}.....\left( 5 \right).$ Από την σχέση (5) προκύπτει ότι για τον τυχόντα πραγματικό αριθμό c υπάρχει αριθμός
$y_o = \frac{{c - a \cdot h\left( {f\left( 0 \right)} \right)}} {b},f\left( {y_o } \right) = c \Rightarrow f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R},\alpha \rho \alpha :\exists x_o \in \mathbb{R},f\left( {x_o } \right) = 0.$
Από το ότι η h είναι άρτια και λόγω της σχέσης (4) ισχύει ότι:
$h\left( {f\left( { - x_o } \right)} \right) = h\left( {f\left( {x_o } \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} f\left( { - x_o } \right) = 0.$
$\left( 5 \right) \Rightarrow ah\left( {f\left( 0 \right)} \right) + bx_o = f\left( {x_o + f\left( {x_o } \right)} \right) = 0 \wedge ah\left( {f\left( 0 \right)} \right) - bx_o = f\left( {x_o + f\left( { - x_o } \right)} \right) \Rightarrow x_o = 0$ και
$h\left( {f\left( 0 \right)} \right) = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0.{\rm A}\rho \alpha :f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0.....\left( 6 \right).$
Από τις σχέσεις (4), (5), (6) έχουμε :
$f\left( {h\left( x \right)} \right) = a \cdot h\left( {f\left( x \right)} \right),\forall x \in \mathbb{R}.....\left( 7 \right)\kappa \alpha \iota \,f\left( {x + f\left( x \right)} \right) = bx,\forall x \in \mathbb{R}.....\left( 8 \right).$
Ας θεωρήσουμε ότι:
$x \in \mathbb{R},x \geqslant 0 \Rightarrow \exists z \in \mathbb{R},h\left( z \right) = x,\kappa \alpha \vartheta o\tau \iota \,\eta \,h:\mathbb{R} \to \left[ {0, + \infty } \right)\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\varepsilon \pi \iota .$
Μετά από αυτά και συνδυάζοντας τις σχέσεις (2), (7) καταλήγουμε στην ισχύ της σχέσης που ακολουθεί :
$f\left( {x + y + f\left( y \right)} \right) = f\left( x \right) + by,\forall x,y \in \mathbb{R}.....\left( 9 \right).$ Υποθέτουμε τώρα ότι:
$x \in \mathbb{R},bx \geqslant 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 9 \right)} f\left( {bx + x + f\left( x \right)} \right) = f\left( {bx} \right) + bx\,\kappa \alpha \iota \,$
επίσης με την ίδια υπόθεση έχουμε ότι:
$x \in \mathbb{R},bx \geqslant 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 8 \right)} f\left( {bx + x + f\left( x \right)} \right) = f\left( {x + f\left( x \right) + f\left( {x + f\left( x \right)} \right)} \right) = bf\left( x \right) + bx,$
οπότε παίρνουμε την ισχύ της:
$f\left( {bx} \right) = bf\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}:bx \geqslant 0.....\left( {10} \right).$
Χρησιμοποιώντας την μέθοδο απόδειξης της τέλειας επαγωγής θα αποδείξουμε ότι:
$f\left( {nbx} \right) = nbf\left( x \right),\forall n \in \mathbb{Z}_ + \kappa \alpha \iota \forall x \in \mathbb{R}:bx \geqslant 0.....\left( {11} \right).$
Προφανώς η σχέση (11) ισχύει για n=1.
Υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση
$f\left( {nbx} \right) = nbf\left( x \right),\forall n \in \mathbb{Z}_ + \kappa \alpha \iota \forall x \in \mathbb{R}:bx \geqslant 0.$
Παρατηρούμε ότι:
$\left( 8 \right),\left( 9 \right) \Rightarrow f\left( {\left( {nb + b + 1} \right)x + f\left( x \right)} \right) = f\left( {\left( {n + 1} \right)bx} \right) + bx$ και
$f\left( {\left( {nb + b + 1} \right)x + f\left( x \right)} \right) = f\left( {nbx} \right) + b\left( {x + f\left( x \right)} \right) = \left( {n + 1} \right)bf\left( x \right) + bx,$ πράγμα που μας οδηγεί στην ισχύ της (11) για κάθε φυσικό αριθμό και για κάθε πραγματικό αριθμό
$x:bx \geqslant 0.$
Από την σχέση (11) έχουμε ότι
$x \geqslant 0 \wedge n \in \mathbb{Z}_ + \Rightarrow f\left( {nx} \right)\mathop = \limits^{\left( {11} \right)} nbf\left( {\frac{x} {b}} \right) = nf\left( x \right)\,\delta \eta \lambda .f\left( {nx} \right) = nf\left( x \right),\forall n \in \mathbb{Z}_ + ,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right).....\left( {12} \right).$
Θα εξετάσουμε τώρα την συμπεριφορά της f ως προς το ενδεχόμενο να είναι άρτια ή περιττή. Παρατηρούμε ότι:
$\left( 3 \right) \Rightarrow \left| {f\left( { - x} \right)} \right| = \left| {f\left( x \right)} \right|\,\kappa \alpha \iota \,\left( 7 \right) \Rightarrow h\left( {f\left( { - x} \right)} \right) = h\left( {f\left( x \right)} \right).{\rm A}\nu \exists x \ne 0:f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( { - \left| x \right|} \right) = f\left( {\left| x \right|} \right).$
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8), (9), (12) παίρνουμε σε ισχύ τις εξής σχέσεις :
$b\left| x \right| = f\left( {\left| x \right| + f\left( {\left| x \right|} \right)} \right) = f\left( {2\left| x \right| - \left| x \right| + f\left( { - \left| x \right|} \right)} \right) = f\left( {2\left| x \right|} \right) - b\left| x \right| = 2f\left( {\left| x \right|} \right) - b\left| x \right|,$
άρα έχουμε ότι:
$b\left| x \right| = f\left( {\left| x \right|} \right) = f\left( { - \left| x \right|} \right).$
Επανερχόμαστε στην σχέση (9) και παίρνουμε ότι:
$f\left( {b\left| x \right|} \right) = f\left( {f\left( { - \left| x \right|} \right)} \right) = f\left( {\left| x \right| - \left| x \right| + f\left( { - \left| x \right|} \right)} \right) = f\left( {\left| x \right|} \right) - b\left| x \right| = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)} x = 0,\alpha \tau o\pi o\,\alpha \varphi o\upsilon \,x \ne 0.$
Τελικά ισχύει ότι
$f\left( x \right) \ne f\left( { - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}^ * .{\rm A}\pi o\,\tau \eta \nu \,\left| {f\left( { - x} \right)} \right| = \left| {f\left( x \right)} \right|\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)} f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}.....\left( {13} \right)$ ,
άρα η f είναι περιττή συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της. Καταλήγοντας έχουμε:
$\left( {12} \right),\left( {13} \right) \Rightarrow f\left( {nx} \right) = nf\left( x \right),\forall n \in \mathbb{Z},\forall x \in \mathbb{R}.....\left( {14} \right).\left( {10} \right),\left( {13} \right) \Rightarrow f\left( {bx} \right) = bf\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}.....\left( {15} \right).$
Αν
$c = f\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right)} c \ne 0.\left( {14} \right) \Rightarrow f\left( n \right) = cn,\forall n \in \mathbb{Z}^ * \Rightarrow f\left( {\frac{m} {n}} \right) = c\frac{m} {n},\forall m \in \mathbb{Z},\forall n \in \mathbb{Z}^ * .....\left( {16} \right).$
$x \geqslant 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 9 \right)} f\left( {x + y + f\left( y \right)} \right) = f\left( x \right) + by,\forall x,y \in \mathbb{R},\alpha \nu \,x < 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {13} \right)}$
$f\left( {x + y + f\left( y \right)} \right) = ... = f\left( x \right) + by,\tau \varepsilon \lambda \iota \kappa \alpha \,\forall x,y \in \mathbb{R}.....\left( {17} \right).$ Για την συνάρτηση ,τώρα
$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},g\left( x \right) = x + f\left( x \right) \Rightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = bx,\forall x \in \mathbb{R},$ και τούτο οφείλεται στο ότι:
$\left( {13} \right),\left( {15} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( { - f\left( x \right) + x + f\left( x \right)} \right) = - f\left( {f\left( x \right)} \right) + bx,\forall x \in \mathbb{R}.$
Από τις σχέσεις
$\left( {15} \right),\left( {17} \right) \Rightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( {x + g\left( {f\left( {\frac{y} {b}} \right)} \right)} \right) = f\left( x \right) + bf\left( {\frac{y} {b}} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{R},$
Δηλαδή η f είναι μία συνάρτηση Cauchy αφού ισχύει ότι :
$f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{R}.....\left( {18} \right).$
Από την
$\left( 3 \right)\kappa \alpha \iota \,\varepsilon \pi \varepsilon \iota \delta \eta \,\eta h\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\varepsilon \pi \iota ,\varepsilon \chi o\upsilon \mu \varepsilon :\forall y > 0,\upsilon \pi \alpha \rho \chi \varepsilon \iota \,\varepsilon \nu \alpha \,x \ne 0,y = h\left( x \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)} af\left( y \right) > 0$
που σημαίνει ότι η f είναι μία αυστηρά μονότονη λύση της εξίσωσης του Cauchy.Αν λοιπόν
$q_1 < x < q_2 ,\mu \varepsilon \,q_1 ,q_2 \in \mathbb{Q}\,\mu \varepsilon \,\frac{f} {c} \uparrow \left( {\alpha \upsilon \sigma \tau \eta \rho \alpha ,\alpha f\left( 1 \right) > 0} \right) \Rightarrow q_1 < \frac{1} {c}f\left( x \right) < q_2 \Rightarrow$
$x = \sup \left\{ {q \in \mathbb{Q}/q < x} \right\} \leqslant \frac{1} {c}f\left( x \right) \leqslant \inf \left\{ {q \in \mathbb{Q}/q > x} \right\} = x,\forall x \in \mathbb{R}.$
Τελικώς αν η f είναι μία λύση της (2) θα είναι της μορφής
$f\left( x \right) = cx/\mathbb{R}\,\delta \eta \lambda .f = c \cdot id_\mathbb{R} \kappa \alpha \iota \,\theta \alpha \,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\lambda \upsilon \sigma \eta \,o\tau \alpha \nu :b = c + c^2 \wedge c \cdot h\left( x \right) = a \cdot h\left( {cx} \right),\forall x \in \mathbb{R}.$

S.E.Louridas

Συναρτησιακή με θεωρητικές προεκτάσεις

Συναρτησιακή με θεωρητικές προεκτάσεις

Re: Συναρτησιακή με θεωρητικές προεκτάσεις

Re: Συναρτησιακή με θεωρητικές προεκτάσεις

Μέλη σε σύνδεση