Πολυώνυμα

#1

Βρείτε όλα τα πολυώνυμα

με μη αρνητικούς ακέραιους συντελεστές και τέτοια ώστε f(1) = 8

και

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἕνα καί μόνο τέτοιο πολυώνυμο ὑπάρχει, τό

$\displaystyle{ p(x) = x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^4+x^3+x^2. }$

Αὐτό ἀποδεικνύεται ὡς ἑξῆς:

Ἀρχικῶς παρατηροῦμε ὅτι τό πολυώνυμο εἶναι βαθμοῦ τό πολύ 10, ἀφοῦ $2^{11}>2012$ . Τό 2012 γράφεται στό δυαδικό σύστημα ὡς 11111011100 μέ ἄθροισμα ψηφίων 8. Ἄν

$\displaystyle{ \sum_{i=0}^{10} b_i 2^i = 2012, \quad b_i\in\mathbb N, }$

ὅπου $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ , μέ κάποιο $b_i\ge 2$ , τότε ἀντικαθιστῶντας τό b_i

μέ τό

καί τό $b_{i+1}$ μέ τό $b_{i+1}+1$ , λαμβάνομε τό ἴδιο ἀποτέλεσμα 2012, καί τό ἄθροισμα τῶν συντελεστῶν μειοῦται κατά ἕνα. Ἐλαχιστοποιεῖται λοιπόν τό ἄθροισμα τῶν b_i

ὅταν αὐτά ἀντιπροσωπεύουν τό δυαδικό σύστημα. Συνεπῶς, κάθε ἄλλο πολυώνυμο

μέ συντελεστές στό $\mathbb N$ , ὥστε q(2)=2012

θά ἔχει ἄθροισμα συντελεστῶν, ἤτοι q(1)

, μεγαλύτερο τοῦ 8.

Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση