Προκριματικός Ελβετίας, 2009

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Προκριματικός Ελβετίας, 2009

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιαν 26, 2013 12:55 am

Προκριματικός Ελβετίας, 2009

1. Έστω GERMANY ISHOT κανονικό δωδεκάγωνο. Οι ευθείες  GN και MI τέμνονται στο P. Δείξτε ότι
(α) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου GIP είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του δωδεκαγώνου GERMANY ISHOT.
(b) το μήκος του τμήματος P A είναι ίσο με το μήκος της πλευράς του GERMANY ISHOT.

2.

3.

4. Για ποιους φυσικούς αριθμούς n υπάρχει πολυώνυμο P(x), με ακέραιους συντελεστές, τέτοιο ώστε

\displaystyle{P(d)=\left(\frac{n}{d}\right)^2,} για κάθε θετικό διαιρέτη d του n;

5. Έστω ABCD κυρτό τετράπλευρο και P,Q εσωτερικά σημεία του τετραπλεύρου ώστε τα τετράπλευρα P QDA και QP BC να είναι εγγράψιμα σε κύκλο.
Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο E του τμήματος P Q ώστε \angle P AE = \angle QDE και \angle P BE =\angle QCE.
Δείξτε ότι και το ABCD είναι εγγράψιμο.

6. Έστω P το σύνολο των πρώτων 2009 πρώτων αριθμών και X το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών με πρώτους παράγοντες μόνο από το P.
Προσδιορίστε όλους τους φυσικούς αριθμούς k, για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση f : X \to X τέτοια ώστε για κάθε m, n \in X να ισχύει η σχέση f(mf(n)) = f(m)n^k.

7.

8. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(f(x)-f(y)) = (x-y)^2f(x+y) , } για κάθε x,y \in \mathbb{R}.

9. Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC έστω BE και CF δύο ύψη του.
Δύο κύκλοι που περνούν από τα A και F εφάπτονται της ευθείας BC στα P και Q, έτσι ώστε το B να βρίσκεται ανάμεσα στα C και Q.
Δείξτε ότι οι ευθείες P E και QF τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AEF.

10. Έστω n ένας φυσικός αριθμός και a, b δύο διαφορετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε:
Για κάθε φυσικό αριθμό m ο αριθμός a^m-b^m διαιρείται με το n^m.
Δείξτε ότι οι a, b διαιρούνται με το n.

11.

12. Να δείξετε ότι

\displaystyle{ \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\ge-\frac{1}{2}, }

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z με x+y+z = xy+yz+zx .


Σύντομα θα προστεθούν και τα υπόλοιπα θέματα! :)


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες